Vectors 向量
向量基础、点积、叉积、投影、直线与平面
向量基础运算 Basic Operations
核心定义
- Vector 向量：具有大小和方向的量A quantity with both magnitude and direction
- Position vector 位置向量：从原点 \(O\) 到点 \(A\) 的向量 \(\overrightarrow{OA}\)Vector from origin to point \(A\)
- Unit vector 单位向量：\(\hat{\boldsymbol{a}} = \dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}\)Vector with magnitude 1 in the direction of \(\boldsymbol{a}\)
- Linear dependence 线性相关：\(\boldsymbol{u} = k\boldsymbol{v}\)（平行向量）Vectors are parallel; one is a scalar multiple of the other
\(|\boldsymbol{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
标准基向量 Standard Basis
\(\boldsymbol{i} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{j} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{k} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)
- 任意向量：\(\boldsymbol{a} = a_1\boldsymbol{i} + a_2\boldsymbol{j} + a_3\boldsymbol{k}\)
- 中点公式 Midpoint：\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\)
- 方向余弦 Direction cosines：\(\cos\alpha = \frac{a_1}{|\boldsymbol{a}|}\)，且 \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)
💡 线性无关的重要性质
若 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\) 线性无关，则 \(m\boldsymbol{a} + n\boldsymbol{b} = p\boldsymbol{a} + q\boldsymbol{b} \Rightarrow m=p, \; n=q\)If linearly independent, coefficients must be equal — key tool for geometric proofs
✎ 练习题 — 向量基础
Q1 2023 Exam 2 MC Q15 若两个单位向量之和也是单位向量，求这两个向量之差的模。
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设 \(|\hat{\boldsymbol{a}}|=|\hat{\boldsymbol{b}}|=1\)，\(|\hat{\boldsymbol{a}}+\hat{\boldsymbol{b}}|=1\)。
\(|\hat{\boldsymbol{a}}+\hat{\boldsymbol{b}}|^2 = 1+2\cos\theta+1 = 1 \Rightarrow \cos\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{2\pi}{3}\)
\(|\hat{\boldsymbol{a}}-\hat{\boldsymbol{b}}|^2 = 2 - 2\cos\frac{2\pi}{3} = 2+1 = 3\)
答案：\(\sqrt{3}\)
\(|\hat{\boldsymbol{a}}+\hat{\boldsymbol{b}}|^2 = 1+2\cos\theta+1 = 1 \Rightarrow \cos\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{2\pi}{3}\)
\(|\hat{\boldsymbol{a}}-\hat{\boldsymbol{b}}|^2 = 2 - 2\cos\frac{2\pi}{3} = 2+1 = 3\)
答案：\(\sqrt{3}\)
Q2 超纲挑战 设 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\) 线性无关。若 \(\overrightarrow{OP} = (2-\lambda)\boldsymbol{a} + (3\lambda-1)\boldsymbol{b}\) 且 \(\overrightarrow{OQ} = (4+\mu)\boldsymbol{a} + (2-5\mu)\boldsymbol{b}\)，P, O, Q 共线，求 \(\lambda\) 和 \(\mu\)。
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P, O, Q 共线 \(\Rightarrow \overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OQ}\)（某实数 \(k\)）。
\((2-\lambda) = k(4+\mu)\) 且 \((3\lambda-1) = k(2-5\mu)\)
又 O 在 P, Q 之间或延长线上。
由线性无关：\(\frac{2-\lambda}{4+\mu} = \frac{3\lambda-1}{2-5\mu}\)
\((2-\lambda)(2-5\mu) = (3\lambda-1)(4+\mu)\)
\(4-10\mu-2\lambda+5\lambda\mu = 12\lambda+3\lambda\mu-4-\mu\)
\(8 - 9\mu - 14\lambda + 2\lambda\mu = 0\)
这是一个含两未知数的方程，需要额外条件（如题目给定比例关系）。
若进一步给定 P 分 OQ 为 \(2:1\)（即 \(k = -\frac{1}{2}\)）：
\(2-\lambda = -\frac{1}{2}(4+\mu)\)，\(3\lambda-1 = -\frac{1}{2}(2-5\mu)\)
解得 \(\lambda = \frac{13}{11}, \mu = \frac{-18}{11}\)
\((2-\lambda) = k(4+\mu)\) 且 \((3\lambda-1) = k(2-5\mu)\)
又 O 在 P, Q 之间或延长线上。
由线性无关：\(\frac{2-\lambda}{4+\mu} = \frac{3\lambda-1}{2-5\mu}\)
\((2-\lambda)(2-5\mu) = (3\lambda-1)(4+\mu)\)
\(4-10\mu-2\lambda+5\lambda\mu = 12\lambda+3\lambda\mu-4-\mu\)
\(8 - 9\mu - 14\lambda + 2\lambda\mu = 0\)
这是一个含两未知数的方程，需要额外条件（如题目给定比例关系）。
若进一步给定 P 分 OQ 为 \(2:1\)（即 \(k = -\frac{1}{2}\)）：
\(2-\lambda = -\frac{1}{2}(4+\mu)\)，\(3\lambda-1 = -\frac{1}{2}(2-5\mu)\)
解得 \(\lambda = \frac{13}{11}, \mu = \frac{-18}{11}\)
Q3 超纲挑战 证明：对任意向量 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\)，\(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = 2(|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2)\)（平行四边形定律）。
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\(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2\)
\(|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2\)
相加：\(2|\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{b}|^2\)。\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) 项消去。■
\(|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2\)
相加：\(2|\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{b}|^2\)。\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) 项消去。■
点积 Dot Product / Scalar Product
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\)
求两向量夹角 Angle Between Vectors
\(\cos\theta = \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}, \quad 0 \le \theta \le \pi\)
- 垂直 Perpendicular：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0\)
- 平行同向：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\)
- 平行反向：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = -|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\)
- \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2\)
常用展开公式
\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) + |\boldsymbol{b}|^2\)
\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - |\boldsymbol{b}|^2\)
✎ 练习题 — 点积
Q1 2024 Exam 1 Q4a 已知 \(\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}\)，\(\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k}\)。求 \(\boldsymbol{a}\) 与 \(\boldsymbol{b}\) 的夹角。
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\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0\cdot2 + 3\cdot(-1) + 3\cdot(-2) = -9\)
\(|\boldsymbol{a}|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2},\quad |\boldsymbol{b}|=\sqrt{4+1+4}=3\)
\(\cos\theta = \frac{-9}{3\sqrt{2}\cdot3} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\theta = \frac{3\pi}{4}\)
\(|\boldsymbol{a}|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2},\quad |\boldsymbol{b}|=\sqrt{4+1+4}=3\)
\(\cos\theta = \frac{-9}{3\sqrt{2}\cdot3} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\theta = \frac{3\pi}{4}\)
Q2 2025 Exam 2 MC Q14 对于非零向量 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\)，若 \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|\)，求 \(\boldsymbol{a}\) 与 \(\boldsymbol{b}\) 的夹角。
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\(|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\)
\(\cos\theta = \sin\theta \Rightarrow \tan\theta = 1\)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\)
\(\cos\theta = \sin\theta \Rightarrow \tan\theta = 1\)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\)
Q3 超纲挑战 设 \(\boldsymbol{a}=(t,\,2t-1,\,t+3)\)，\(\boldsymbol{b}=(1,\,t,\,-2)\)。
(a) 求所有使 \(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\) 的 \(t\) 值。
(b) 对于 (a) 中较大的 \(t\)，求 \(\boldsymbol{a}\) 在方向 \(\boldsymbol{c}=(1,1,1)\) 上的标量投影。
(a) 求所有使 \(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\) 的 \(t\) 值。
(b) 对于 (a) 中较大的 \(t\)，求 \(\boldsymbol{a}\) 在方向 \(\boldsymbol{c}=(1,1,1)\) 上的标量投影。
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(a) \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=t + t(2t-1) -2(t+3) = 2t^2-2t-6=0\)
\(t^2-t-3=0 \Rightarrow t=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\)
(b) 取 \(t=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\)，则 \(\boldsymbol{a}=\bigl(\frac{1+\sqrt{13}}{2},\,\sqrt{13},\,\frac{7+\sqrt{13}}{2}\bigr)\)
标量投影 \(= \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{c}|} = \frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}+\sqrt{13}+\frac{7+\sqrt{13}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4+2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}\)
\(t^2-t-3=0 \Rightarrow t=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\)
(b) 取 \(t=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\)，则 \(\boldsymbol{a}=\bigl(\frac{1+\sqrt{13}}{2},\,\sqrt{13},\,\frac{7+\sqrt{13}}{2}\bigr)\)
标量投影 \(= \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{c}|} = \frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}+\sqrt{13}+\frac{7+\sqrt{13}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4+2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}\)
叉积 Cross Product / Vector Product
公式与行列式
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix} = (a_2b_3-a_3b_2)\boldsymbol{i} - (a_1b_3-a_3b_1)\boldsymbol{j} + (a_1b_2-a_2b_1)\boldsymbol{k}\)
\(|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\)
⚠️ j 分量负号！
叉积展开时 \(\boldsymbol{j}\) 分量前必须取负号。这是考试中叉积计算最常见的错误来源 (2023-2025 考官反复强调)。
关键性质
| 性质 Property | 公式 |
|---|---|
| 反交换律 Anti-commutative | \(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} = -(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\) |
| 平行判定 Parallel | \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}\) |
| 垂直性 Perpendicularity | \((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a} = 0\) 且 \((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b} = 0\) |
| 三角形面积 Triangle area | \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) |
| 不满足结合律 | \((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c} \neq \boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\) |
基向量叉积
\(\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}, \quad \boldsymbol{j}\times\boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}, \quad \boldsymbol{k}\times\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}\)
\(\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{i}=-\boldsymbol{k}, \quad \boldsymbol{k}\times\boldsymbol{j}=-\boldsymbol{i}, \quad \boldsymbol{i}\times\boldsymbol{k}=-\boldsymbol{j}\)
✎ 练习题 — 叉积
Q1 2024 Exam 1 Q4b 已知 \(\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}\)，\(\boldsymbol{c}=n\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）。求所有使 \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} = |\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}|\) 的 \(n\) 值。
🔒 点击展开解答
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=6+3=9\)
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\0&3&3\\n&2&1\end{vmatrix} = (3-6)\boldsymbol{i}-(0-3n)\boldsymbol{j}+(0-3n)\boldsymbol{k} = -3\boldsymbol{i}+3n\boldsymbol{j}-3n\boldsymbol{k}\)
\(|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}|=\sqrt{9+9n^2+9n^2}=\sqrt{9+18n^2}\)
令 \(9=\sqrt{9+18n^2} \Rightarrow 81=9+18n^2 \Rightarrow n^2=4\)
\(n=\pm2\)
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\0&3&3\\n&2&1\end{vmatrix} = (3-6)\boldsymbol{i}-(0-3n)\boldsymbol{j}+(0-3n)\boldsymbol{k} = -3\boldsymbol{i}+3n\boldsymbol{j}-3n\boldsymbol{k}\)
\(|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}|=\sqrt{9+9n^2+9n^2}=\sqrt{9+18n^2}\)
令 \(9=\sqrt{9+18n^2} \Rightarrow 81=9+18n^2 \Rightarrow n^2=4\)
\(n=\pm2\)
Q2 2025 NHT Exam 2 MC Q17 三角形两条边为 \(2\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-3\boldsymbol{k}\) 和 \(\boldsymbol{i}-2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\)。求三角形面积。
🔒 点击展开解答
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\2&1&-3\\1&-2&1\end{vmatrix} = (1-6)\boldsymbol{i}-(-3+2)\boldsymbol{j}+(-4-1)\boldsymbol{k} = -5\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}-5\boldsymbol{k}\)
面积 \(= \frac{1}{2}|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}| = \frac{1}{2}\sqrt{25+25+25} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\)
面积 \(= \frac{1}{2}|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}| = \frac{1}{2}\sqrt{25+25+25} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\)
Q3 超纲挑战 设 \(\boldsymbol{u}=(1,2,k)\)，\(\boldsymbol{v}=(k,1,-1)\)，\(\boldsymbol{w}=(3,0,2)\)。求所有 \(k\) 使得 \(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\) 垂直于 \(\boldsymbol{w}\)。
🔒 点击展开解答
\(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\1&2&k\\k&1&-1\end{vmatrix} = (-2-k)\boldsymbol{i}-(- 1-k^2)\boldsymbol{j}+(1-2k)\boldsymbol{k}\)
\(= (-2-k)\boldsymbol{i}+(1+k^2)\boldsymbol{j}+(1-2k)\boldsymbol{k}\)
垂直于 \(\boldsymbol{w}\)：\((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}=0\)
\(3(-2-k)+0(1+k^2)+2(1-2k) = 0\)
\(-6-3k+2-4k=0 \Rightarrow -7k-4=0 \Rightarrow k=-\frac{4}{7}\)
\(= (-2-k)\boldsymbol{i}+(1+k^2)\boldsymbol{j}+(1-2k)\boldsymbol{k}\)
垂直于 \(\boldsymbol{w}\)：\((\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}=0\)
\(3(-2-k)+0(1+k^2)+2(1-2k) = 0\)
\(-6-3k+2-4k=0 \Rightarrow -7k-4=0 \Rightarrow k=-\frac{4}{7}\)
向量投影 Vector Projection
标量投影 vs 向量投影
| 类型 | 公式 | 结果类型 |
|---|---|---|
| Scalar resolute 标量投影 | \(\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\) | 标量 |
| Vector resolute 向量投影 | \(\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}\) | 向量 |
\(\boldsymbol{a} = \underbrace{\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}}_{\text{parallel to }\boldsymbol{b}} + \underbrace{\boldsymbol{a} - \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}}_{\text{perpendicular to }\boldsymbol{b}}\)
✎ 练习题 — 向量投影
Q1 2025 NHT Exam 2 MC Q13 已知 \(\boldsymbol{a}=-2\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+m\boldsymbol{k}\)（\(m\in\mathbb{R}^+\)），\(\boldsymbol{b}\) 为非零向量，\(\boldsymbol{a}\) 与 \(\boldsymbol{b}\) 夹角为 \(\frac{\pi}{3}\)，\(\boldsymbol{a}\) 在 \(\boldsymbol{b}\) 方向上的标量分量为 4。求 \(m\)。
🔒 点击展开解答
标量分量 \(= |\boldsymbol{a}|\cos\frac{\pi}{3} = \frac{|\boldsymbol{a}|}{2} = 4\)
\(|\boldsymbol{a}|=8 \Rightarrow 4+9+m^2=64 \Rightarrow m^2=51\)
\(m=\sqrt{51}\)
\(|\boldsymbol{a}|=8 \Rightarrow 4+9+m^2=64 \Rightarrow m^2=51\)
\(m=\sqrt{51}\)
Q2 超纲挑战 设 \(\boldsymbol{a}=(3,-1,2)\)，\(\boldsymbol{b}=(1,2,-1)\)。
(a) 求 \(\boldsymbol{a}\) 在 \(\boldsymbol{b}\) 方向上的向量投影 \(\text{proj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a}\)。
(b) 求 \(\boldsymbol{a}\) 垂直于 \(\boldsymbol{b}\) 的分量。
(c) 验证两个分量的模的平方和等于 \(|\boldsymbol{a}|^2\)。
(a) 求 \(\boldsymbol{a}\) 在 \(\boldsymbol{b}\) 方向上的向量投影 \(\text{proj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a}\)。
(b) 求 \(\boldsymbol{a}\) 垂直于 \(\boldsymbol{b}\) 的分量。
(c) 验证两个分量的模的平方和等于 \(|\boldsymbol{a}|^2\)。
🔒 点击展开解答
(a) \(\text{proj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b} = \frac{3-2-2}{6}\boldsymbol{b} = -\frac{1}{6}(1,2,-1) = (-\frac{1}{6},-\frac{1}{3},\frac{1}{6})\)
(b) \(\boldsymbol{a}_\perp = \boldsymbol{a} - \text{proj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a} = (3+\frac{1}{6},\,-1+\frac{1}{3},\,2-\frac{1}{6}) = (\frac{19}{6},-\frac{2}{3},\frac{11}{6})\)
(c) \(|\text{proj}|^2 = \frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{1}{36}=\frac{1}{6}\)。\(|\boldsymbol{a}_\perp|^2 = \frac{361}{36}+\frac{4}{9}+\frac{121}{36} = \frac{361+16+121}{36}=\frac{498}{36}=\frac{83}{6}\)
\(\frac{1}{6}+\frac{83}{6}=\frac{84}{6}=14=|\boldsymbol{a}|^2\) ✓
(b) \(\boldsymbol{a}_\perp = \boldsymbol{a} - \text{proj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a} = (3+\frac{1}{6},\,-1+\frac{1}{3},\,2-\frac{1}{6}) = (\frac{19}{6},-\frac{2}{3},\frac{11}{6})\)
(c) \(|\text{proj}|^2 = \frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{1}{36}=\frac{1}{6}\)。\(|\boldsymbol{a}_\perp|^2 = \frac{361}{36}+\frac{4}{9}+\frac{121}{36} = \frac{361+16+121}{36}=\frac{498}{36}=\frac{83}{6}\)
\(\frac{1}{6}+\frac{83}{6}=\frac{84}{6}=14=|\boldsymbol{a}|^2\) ✓
共线性与几何证明 Collinearity & Proofs
共线性 Collinearity
- \(A, B, C\) 共线 \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{AC} = m\overrightarrow{AB}\)（某实数 \(m\)）
- 位置向量表示：\(\boldsymbol{c} = (1-m)\boldsymbol{a} + m\boldsymbol{b}\)，即 \(\lambda + \mu = 1\)
经典几何证明
- 菱形对角线垂直：\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}) = |\boldsymbol{a}|^2 - |\boldsymbol{c}|^2 = 0\)（因 \(|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{c}|\)）
- 直径所对圆周角为直角：\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC} = (-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}) = |\boldsymbol{c}|^2-|\boldsymbol{a}|^2 = 0\)
- 重心 Centroid：\(\boldsymbol{G} = \frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\)，分中线为 \(2:1\)
✎ 练习题 — 共线性与几何证明
Q1 超纲挑战 三角形 \(ABC\)，\(M\) 是 \(BC\) 的中点，\(G\) 是重心。用向量证明 \(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)。
🔒 点击展开解答
设 \(\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}\)。
\(\overrightarrow{OM}=\frac{\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{2}\)，\(\overrightarrow{OG}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}\)
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\boldsymbol{a}=\frac{\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{2}-\boldsymbol{a}=\frac{-2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{2}\)
\(\overrightarrow{AG}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}-\boldsymbol{a}=\frac{-2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}\)
\(\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\cdot\frac{-2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{2}=\frac{-2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}=\overrightarrow{AG}\) ■
\(\overrightarrow{OM}=\frac{\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{2}\)，\(\overrightarrow{OG}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}\)
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\boldsymbol{a}=\frac{\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{2}-\boldsymbol{a}=\frac{-2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{2}\)
\(\overrightarrow{AG}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}-\boldsymbol{a}=\frac{-2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}\)
\(\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\cdot\frac{-2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{2}=\frac{-2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}=\overrightarrow{AG}\) ■
Q2 超纲挑战 四面体 \(OABC\) 中，设 \(\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}\)。\(P\) 为 \(AB\) 中点，\(Q\) 为 \(OC\) 上三分之一处（靠近 O）。证明 \(P,Q\) 和 \(G=\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\)（四面体重心）三点共线。
🔒 点击展开解答
\(\overrightarrow{OP}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2}\)，\(\overrightarrow{OQ}=\frac{\boldsymbol{c}}{3}\)，\(\overrightarrow{OG}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{4}\)
\(\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2}-\frac{\boldsymbol{c}}{3}=\frac{3\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c}}{6}\)
\(\overrightarrow{QG}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{4}-\frac{\boldsymbol{c}}{3}=\frac{3\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}}{12}\)
检查是否存在 \(k\) 使得 \(\overrightarrow{QG}=k\overrightarrow{QP}\)：
\(\frac{3}{12}=\frac{k\cdot3}{6} \Rightarrow k=\frac{1}{2}\)，检验 \(\boldsymbol{c}\)：\(-\frac{1}{12}\stackrel{?}{=}\frac{1}{2}\cdot\frac{-2}{6}=-\frac{1}{6}\)。
\(-\frac{1}{12}\neq-\frac{1}{6}\)，所以 G 不在 PQ 上。
注意：四面体重心应为 \(\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{4}\) 不包含原点时。若含原点则 \(G'=\frac{\boldsymbol{0}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{4}\)。实际需调整 Q 的位置使三点共线。
若 Q 取 \(\frac{2\boldsymbol{c}}{3}\)：\(\overrightarrow{QG}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{4}-\frac{2\boldsymbol{c}}{3}=\frac{3\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-5\boldsymbol{c}}{12}\)，\(\overrightarrow{QP}=\frac{3\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{c}}{6}\)。仍不成标量倍数。
→ 此题提醒：共线性验证中需严格检验每个分量的比值一致。
\(\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2}-\frac{\boldsymbol{c}}{3}=\frac{3\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c}}{6}\)
\(\overrightarrow{QG}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{4}-\frac{\boldsymbol{c}}{3}=\frac{3\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}}{12}\)
检查是否存在 \(k\) 使得 \(\overrightarrow{QG}=k\overrightarrow{QP}\)：
\(\frac{3}{12}=\frac{k\cdot3}{6} \Rightarrow k=\frac{1}{2}\)，检验 \(\boldsymbol{c}\)：\(-\frac{1}{12}\stackrel{?}{=}\frac{1}{2}\cdot\frac{-2}{6}=-\frac{1}{6}\)。
\(-\frac{1}{12}\neq-\frac{1}{6}\)，所以 G 不在 PQ 上。
注意：四面体重心应为 \(\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{4}\) 不包含原点时。若含原点则 \(G'=\frac{\boldsymbol{0}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{4}\)。实际需调整 Q 的位置使三点共线。
若 Q 取 \(\frac{2\boldsymbol{c}}{3}\)：\(\overrightarrow{QG}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{4}-\frac{2\boldsymbol{c}}{3}=\frac{3\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-5\boldsymbol{c}}{12}\)，\(\overrightarrow{QP}=\frac{3\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{c}}{6}\)。仍不成标量倍数。
→ 此题提醒：共线性验证中需严格检验每个分量的比值一致。
直线方程 Line Equations
三种表示形式
| Vector form 向量 | Parametric 参数 | Cartesian 笛卡尔 |
|---|---|---|
| \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{d}\) | \(x=a_1+d_1t\) \(y=a_2+d_2t\) \(z=a_3+d_3t\) | \(\frac{x-a_1}{d_1}=\frac{y-a_2}{d_2}=\frac{z-a_3}{d_3}\) |
- 过两点 \(A, B\)：\(\boldsymbol{r}=(1-t)\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}\)
- \(t \in [0,1]\) 时表示线段
- 平行 \(\Leftrightarrow\) \(\boldsymbol{d}_1 \parallel \boldsymbol{d}_2\)；垂直 \(\Leftrightarrow\) \(\boldsymbol{d}_1 \cdot \boldsymbol{d}_2 = 0\)
✎ 练习题 — 直线方程
Q1 2025 Exam 1 Q2 直线 \(L_1\) 过点 \(A(2,3,1)\)、方向 \(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k}\)；直线 \(L_2\) 过点 \(B(1,3,2)\)、方向 \(\boldsymbol{v}=-\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\)。求两直线交点坐标。
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\(L_1: (2+s,\,3+2s,\,1-s)\)，\(L_2: (1-t,\,3-t,\,2+t)\)
\(2+s=1-t \Rightarrow s+t=-1\) ①
\(3+2s=3-t \Rightarrow 2s+t=0\) ②
②-①：\(s=1\)，代入得 \(t=-2\)
验证 \(z\)：\(1-1=0\)，\(2+(-2)=0\) ✓
交点 \((3,\,5,\,0)\)
\(2+s=1-t \Rightarrow s+t=-1\) ①
\(3+2s=3-t \Rightarrow 2s+t=0\) ②
②-①：\(s=1\)，代入得 \(t=-2\)
验证 \(z\)：\(1-1=0\)，\(2+(-2)=0\) ✓
交点 \((3,\,5,\,0)\)
Q2 超纲挑战 直线 \(\boldsymbol{r}(t)=(1+2t)\boldsymbol{i}+(3-t)\boldsymbol{j}+(2+\alpha t)\boldsymbol{k}\) 与平面 \(x-y+2z=7\) 平行。
(a) 求 \(\alpha\)。
(b) 求该直线到此平面的距离。
(a) 求 \(\alpha\)。
(b) 求该直线到此平面的距离。
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(a) 法向量 \(\boldsymbol{n}=(1,-1,2)\)，方向向量 \(\boldsymbol{d}=(2,-1,\alpha)\)。
平行 \(\Rightarrow \boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{n}=0\)：\(2+1+2\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-\frac{3}{2}\)
(b) 取直线上一点 \(t=0\)：\(P(1,3,2)\)。
距离 \(=\frac{|1-3+4-7|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{6}\)
平行 \(\Rightarrow \boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{n}=0\)：\(2+1+2\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-\frac{3}{2}\)
(b) 取直线上一点 \(t=0\)：\(P(1,3,2)\)。
距离 \(=\frac{|1-3+4-7|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{6}\)
Q3 超纲挑战 直线 \(L\) 过点 \(A(3,1,-2)\) 且同时垂直于 \(\boldsymbol{u}=(1,2,1)\) 和 \(\boldsymbol{v}=(2,-1,3)\)。求 \(L\) 的参数方程。
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方向向量 \(= \boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\1&2&1\\2&-1&3\end{vmatrix}\)
\(= (6+1)\boldsymbol{i}-(3-2)\boldsymbol{j}+(-1-4)\boldsymbol{k} = 7\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}-5\boldsymbol{k}\)
\(L: \boldsymbol{r}(t) = (3+7t)\boldsymbol{i}+(1-t)\boldsymbol{j}+(-2-5t)\boldsymbol{k}\)
\(= (6+1)\boldsymbol{i}-(3-2)\boldsymbol{j}+(-1-4)\boldsymbol{k} = 7\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}-5\boldsymbol{k}\)
\(L: \boldsymbol{r}(t) = (3+7t)\boldsymbol{i}+(1-t)\boldsymbol{j}+(-2-5t)\boldsymbol{k}\)
交点与异面线 Intersection & Skew Lines
三维空间中两直线的四种关系
| 关系 | 条件 |
|---|---|
| Coincident 重合 | \(\boldsymbol{d}_1 \parallel \boldsymbol{d}_2\) 且一点在另一条线上 |
| Parallel 平行不重合 | \(\boldsymbol{d}_1 \parallel \boldsymbol{d}_2\) 但不共点 |
| Intersecting 相交 | 联立方程有唯一解（三个方程一致） |
| Skew 异面 | 不平行也不相交 |
🔧 解法：判断两线关系
- 检查 \(\boldsymbol{d}_1 \parallel \boldsymbol{d}_2\)? 若平行 → 检查重合
- 若不平行：令 \(\boldsymbol{a}_1 + s\boldsymbol{d}_1 = \boldsymbol{a}_2 + t\boldsymbol{d}_2\)
- 从 \(i,j\) 分量的两个方程解出 \(s, t\)
- 必须用 \(k\) 分量验证！
- 一致 → 交点；不一致 → 异面
⚠️ 考官警告
- 忘记验证第三个分量方程是判断异面线时最常见的错误 (2025 NHT-E1)
- 证明异面线必须同时证明：①不平行 ②不相交
✎ 练习题 — 交点与异面线
Q1 2024 Exam 1 Q10 两条直线：
\(l_1: \boldsymbol{r}_1(\lambda)=\boldsymbol{i}+m\boldsymbol{k}+\lambda(\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k})\)
\(l_2: \boldsymbol{r}_2(\mu)=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{k}+\mu(-\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k})\)
其中 \(m\in\mathbb{R}\setminus\{-\frac{4}{5}\}\)。若 \(l_1,l_2\) 的最短距离为 \(\frac{14}{\sqrt{35}}\)，求 \(m\)。
\(l_1: \boldsymbol{r}_1(\lambda)=\boldsymbol{i}+m\boldsymbol{k}+\lambda(\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k})\)
\(l_2: \boldsymbol{r}_2(\mu)=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{k}+\mu(-\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k})\)
其中 \(m\in\mathbb{R}\setminus\{-\frac{4}{5}\}\)。若 \(l_1,l_2\) 的最短距离为 \(\frac{14}{\sqrt{35}}\)，求 \(m\)。
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\(\boldsymbol{d}_1\times\boldsymbol{d}_2 = (1,2,1)\times(-1,3,2) = (4-3)\boldsymbol{i}-(2+1)\boldsymbol{j}+(3+2)\boldsymbol{k} = \boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}+5\boldsymbol{k}\)
\(|\boldsymbol{n}|=\sqrt{1+9+25}=\sqrt{35}\)
\(\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_1=(2-1,0,\,-1-m)=(1,0,-1-m)\)
距离 \(=\frac{|(\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_1)\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|1+0-5(1+m)|}{\sqrt{35}}=\frac{|-4-5m|}{\sqrt{35}}=\frac{14}{\sqrt{35}}\)
\(|4+5m|=14\)：\(m=2\) 或 \(m=-\frac{18}{5}\)
\(|\boldsymbol{n}|=\sqrt{1+9+25}=\sqrt{35}\)
\(\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_1=(2-1,0,\,-1-m)=(1,0,-1-m)\)
距离 \(=\frac{|(\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_1)\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|1+0-5(1+m)|}{\sqrt{35}}=\frac{|-4-5m|}{\sqrt{35}}=\frac{14}{\sqrt{35}}\)
\(|4+5m|=14\)：\(m=2\) 或 \(m=-\frac{18}{5}\)
Q2 超纲挑战 两直线：
\(L_1: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}+s(2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k})\)
\(L_2: \boldsymbol{r}=3\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+a\boldsymbol{k}+t(\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k})\)
(a) 求使 \(L_1\) 和 \(L_2\) 相交（而非异面）的 \(a\) 值。
(b) 若 \(a\) 取 (a) 中的值，求交点坐标。
\(L_1: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}+s(2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k})\)
\(L_2: \boldsymbol{r}=3\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+a\boldsymbol{k}+t(\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k})\)
(a) 求使 \(L_1\) 和 \(L_2\) 相交（而非异面）的 \(a\) 值。
(b) 若 \(a\) 取 (a) 中的值，求交点坐标。
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(a) 联立：\(1+2s=3+t\)，\(2-s=1+t\)，\(1+3s=a+t\)
由前两个：\(2s-t=2\)，\(-s-t=-1\)。相减：\(3s=3 \Rightarrow s=1,\,t=0\)
代入第三个：\(4=a+0 \Rightarrow a=4\)
(b) \(s=1\)：\((3,\,1,\,4)\)
由前两个：\(2s-t=2\)，\(-s-t=-1\)。相减：\(3s=3 \Rightarrow s=1,\,t=0\)
代入第三个：\(4=a+0 \Rightarrow a=4\)
(b) \(s=1\)：\((3,\,1,\,4)\)
Q3 超纲挑战 证明直线 \(L_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}\) 和 \(L_2:\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-1}{-2}\) 是异面的，并求它们之间的最短距离。
🔒 点击展开解答
\(\boldsymbol{d}_1=(2,-3,1)\)，\(\boldsymbol{d}_2=(1,4,-2)\)。
不平行（\(\frac{2}{1}\neq\frac{-3}{4}\)）。
联立：\(1+2s=-2+t,\,-1-3s=3+4t,\,s=1-2t\)
由③ \(s=1-2t\)，代入①：\(1+2(1-2t)=-2+t \Rightarrow 3-4t=-2+t \Rightarrow t=1,\,s=-1\)
检验②：\(-1-3(-1)=2\)，\(3+4(1)=7\)。\(2\neq7\)，故异面。✓
\(\boldsymbol{n}=\boldsymbol{d}_1\times\boldsymbol{d}_2 = (6-4)\boldsymbol{i}-(- 4-1)\boldsymbol{j}+(8+3)\boldsymbol{k}=2\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}+11\boldsymbol{k}\)
\(\overrightarrow{A_1A_2}=(-3,4,1)\)
距离 \(=\frac{|(-3)(2)+4(5)+1(11)|}{\sqrt{4+25+121}}=\frac{|-6+20+11|}{\sqrt{150}}=\frac{25}{5\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{6}\)
不平行（\(\frac{2}{1}\neq\frac{-3}{4}\)）。
联立：\(1+2s=-2+t,\,-1-3s=3+4t,\,s=1-2t\)
由③ \(s=1-2t\)，代入①：\(1+2(1-2t)=-2+t \Rightarrow 3-4t=-2+t \Rightarrow t=1,\,s=-1\)
检验②：\(-1-3(-1)=2\)，\(3+4(1)=7\)。\(2\neq7\)，故异面。✓
\(\boldsymbol{n}=\boldsymbol{d}_1\times\boldsymbol{d}_2 = (6-4)\boldsymbol{i}-(- 4-1)\boldsymbol{j}+(8+3)\boldsymbol{k}=2\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}+11\boldsymbol{k}\)
\(\overrightarrow{A_1A_2}=(-3,4,1)\)
距离 \(=\frac{|(-3)(2)+4(5)+1(11)|}{\sqrt{4+25+121}}=\frac{|-6+20+11|}{\sqrt{150}}=\frac{25}{5\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{6}\)
平面方程 Plane Equations
两种形式
| Vector form | Cartesian form |
|---|---|
| \(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n} = k\) 或 \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n}=0\) | \(n_1x + n_2y + n_3z = k\) |
🔧 解法：三点确定平面
- 求 \(\overrightarrow{AB}\) 和 \(\overrightarrow{AC}\)
- \(\boldsymbol{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) (法向量)
- 代入一点求 \(k\)：\(n_1 x_0 + n_2 y_0 + n_3 z_0 = k\)
🔧 解法：直线与平面交点
- 将直线参数方程代入平面方程
- \((\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{d})\cdot\boldsymbol{n} = k\)
- 解出 \(t = \dfrac{k - \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}}{\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{n}}\)
- 代回求交点坐标
🔧 解法：两平面交线
- 交线方向：\(\boldsymbol{d} = \boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2\)
- 联立两平面方程，令一个变量为参数
- 解出其余变量，写成参数形式
✎ 练习题 — 平面方程
Q1 2023 Exam 1 Q9 (节选) 平面过点 \(A(1,3,-2)\)，\(B(-1,-2,4)\)，\(D(0,2,0)\)。
(a) 求 \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\)。
(b) 求平面的笛卡尔方程。
(a) 求 \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\)。
(b) 求平面的笛卡尔方程。
🔒 点击展开解答
\(\overrightarrow{AB}=(-2,-5,6)\)，\(\overrightarrow{AD}=(-1,-1,2)\)
(a) \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\-2&-5&6\\-1&-1&2\end{vmatrix}=(-10+6)\boldsymbol{i}-(- 4+6)\boldsymbol{j}+(2-5)\boldsymbol{k}=-4\boldsymbol{i}-2\boldsymbol{j}-3\boldsymbol{k}\)
(b) \(-4(x-1)-2(y-3)-3(z+2)=0\)
\(-4x+4-2y+6-3z-6=0 \Rightarrow 4x+2y+3z=4\)
(a) \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\-2&-5&6\\-1&-1&2\end{vmatrix}=(-10+6)\boldsymbol{i}-(- 4+6)\boldsymbol{j}+(2-5)\boldsymbol{k}=-4\boldsymbol{i}-2\boldsymbol{j}-3\boldsymbol{k}\)
(b) \(-4(x-1)-2(y-3)-3(z+2)=0\)
\(-4x+4-2y+6-3z-6=0 \Rightarrow 4x+2y+3z=4\)
Q2 2023 Exam 2 MC Q18 两平面 \(\Pi_1:2x-ky+3z=1\) 和 \(\Pi_2:2kx+3y-2z=4\)。求使两平面垂直的 \(k\)。
🔒 点击展开解答
\(\boldsymbol{n}_1=(2,-k,3)\)，\(\boldsymbol{n}_2=(2k,3,-2)\)
垂直：\(\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=0\)
\(4k-3k-6=0 \Rightarrow k=6\)
垂直：\(\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=0\)
\(4k-3k-6=0 \Rightarrow k=6\)
Q3 超纲挑战 三平面 \(\Pi_1:x+y+z=6\)，\(\Pi_2:2x-y+z=3\)，\(\Pi_3:x+2y-z=1\)。
(a) 求三平面的唯一交点。
(b) 求 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 交线的参数方程。
(c) 求从点 \((5,5,5)\) 到 \(\Pi_3\) 的最短距离。
(a) 求三平面的唯一交点。
(b) 求 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 交线的参数方程。
(c) 求从点 \((5,5,5)\) 到 \(\Pi_3\) 的最短距离。
🔒 点击展开解答
(a) ①+②：\(3x+2z=9\)；①+③：\(2x+3y=7\)；②+③：\(3x+y=4\)
由③'：\(y=4-3x\)，代入②'：\(2x+12-9x=7 \Rightarrow x=\frac{5}{7}\)
\(y=4-\frac{15}{7}=\frac{13}{7}\)，\(z=6-\frac{5}{7}-\frac{13}{7}=\frac{24}{7}\)
交点 \((\frac{5}{7},\frac{13}{7},\frac{24}{7})\)
(b) \(\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2=(1,1,1)\times(2,-1,1)=(2,1,-3)\)
取交点为初始点：\(\boldsymbol{r}(t)=(\frac{5}{7}+2t)\boldsymbol{i}+(\frac{13}{7}+t)\boldsymbol{j}+(\frac{24}{7}-3t)\boldsymbol{k}\)
(c) \(d=\frac{|5+10-5-1|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{9}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\)
由③'：\(y=4-3x\)，代入②'：\(2x+12-9x=7 \Rightarrow x=\frac{5}{7}\)
\(y=4-\frac{15}{7}=\frac{13}{7}\)，\(z=6-\frac{5}{7}-\frac{13}{7}=\frac{24}{7}\)
交点 \((\frac{5}{7},\frac{13}{7},\frac{24}{7})\)
(b) \(\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2=(1,1,1)\times(2,-1,1)=(2,1,-3)\)
取交点为初始点：\(\boldsymbol{r}(t)=(\frac{5}{7}+2t)\boldsymbol{i}+(\frac{13}{7}+t)\boldsymbol{j}+(\frac{24}{7}-3t)\boldsymbol{k}\)
(c) \(d=\frac{|5+10-5-1|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{9}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\)
距离公式集 Distance Formulas
📏 五大距离公式
| 场景 | 公式 |
|---|---|
| Point to plane 点到平面 | \(d = \dfrac{|n_1x_0 + n_2y_0 + n_3z_0 - k|}{|\boldsymbol{n}|}\) |
| Point to line 点到直线 | \(d = \dfrac{|\overrightarrow{AP} \times \boldsymbol{d}|}{|\boldsymbol{d}|}\) |
| Skew lines 异面线距离 | \(d = \dfrac{|(\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_1)\cdot(\boldsymbol{d}_1\times\boldsymbol{d}_2)|}{|\boldsymbol{d}_1\times\boldsymbol{d}_2|}\) |
| Parallel planes 平行平面距离 | \(d = \dfrac{|k_1 - k_2|}{|\boldsymbol{n}|}\)（法向量相同时） |
| Parallel lines 平行线距离 | \(d = \dfrac{|\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{d}|}{|\boldsymbol{d}|}\)（\(\boldsymbol{v}\) 连接两线上各一点） |
⚠️ 考官高频错误
- 叉积计算出现符号错误（最常见）
- 忘记取绝对值导致答案为负
- 给出三角形面积而非距离（混淆公式应用）
- 分母忘记取模长 (2025 NHT)
✎ 练习题 — 距离公式
Q1 2025 Exam 2 Section B Q5c 求点 \((1,1,2)\) 到平面 \(\Pi_3: x+9y-3z=7\) 的最短距离。
🔒 点击展开解答
\(d=\frac{|1+9-6-7|}{\sqrt{1+81+9}}=\frac{|-3|}{\sqrt{91}}=\frac{3}{\sqrt{91}}=\frac{3\sqrt{91}}{91}\)
Q2 2024 Exam 2 MC Q17 平行线 \(L_1:\boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}+s(\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k})\) 和 \(L_2:\boldsymbol{r}_2=-2\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}+t(\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k})\)。求最短距离。
🔒 点击展开解答
\(\overrightarrow{A_1A_2}=(-3,-2,2)\)，\(\boldsymbol{d}=(1,1,1)\)
\(\overrightarrow{A_1A_2}\times\boldsymbol{d}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\-3&-2&2\\1&1&1\end{vmatrix}=(-2-2)\boldsymbol{i}-(- 3-2)\boldsymbol{j}+(-3+2)\boldsymbol{k}=-4\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k}\)
距离 \(=\frac{|\overrightarrow{A_1A_2}\times\boldsymbol{d}|}{|\boldsymbol{d}|}=\frac{\sqrt{16+25+1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{3}}=\sqrt{14}\)
\(\overrightarrow{A_1A_2}\times\boldsymbol{d}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\-3&-2&2\\1&1&1\end{vmatrix}=(-2-2)\boldsymbol{i}-(- 3-2)\boldsymbol{j}+(-3+2)\boldsymbol{k}=-4\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k}\)
距离 \(=\frac{|\overrightarrow{A_1A_2}\times\boldsymbol{d}|}{|\boldsymbol{d}|}=\frac{\sqrt{16+25+1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{3}}=\sqrt{14}\)
Q3 超纲挑战 平面 \(2x-3y+4z=12\) 与三个坐标轴交于三个点。
(a) 求三个截距点坐标。
(b) 用叉积求该三角形面积（答案形式 \(m\sqrt{n}\)）。
(c) 求原点到此平面的距离。
(a) 求三个截距点坐标。
(b) 用叉积求该三角形面积（答案形式 \(m\sqrt{n}\)）。
(c) 求原点到此平面的距离。
🔒 点击展开解答
(a) 令 \(y=z=0: x=6 \Rightarrow A(6,0,0)\)；\(x=z=0: y=-4 \Rightarrow B(0,-4,0)\)；\(x=y=0: z=3 \Rightarrow C(0,0,3)\)
(b) \(\overrightarrow{AB}=(-6,-4,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-6,0,3)\)
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-12,18,-24)\)
面积 \(=\frac{1}{2}\sqrt{144+324+576}=\frac{1}{2}\sqrt{1044}=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{29}=3\sqrt{29}\)
(c) \(d=\frac{|0-0+0-12|}{\sqrt{4+9+16}}=\frac{12}{\sqrt{29}}=\frac{12\sqrt{29}}{29}\)
(b) \(\overrightarrow{AB}=(-6,-4,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-6,0,3)\)
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-12,18,-24)\)
面积 \(=\frac{1}{2}\sqrt{144+324+576}=\frac{1}{2}\sqrt{1044}=\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{29}=3\sqrt{29}\)
(c) \(d=\frac{|0-0+0-12|}{\sqrt{4+9+16}}=\frac{12}{\sqrt{29}}=\frac{12\sqrt{29}}{29}\)
角度公式集 Angle Formulas
📐 四种角度
| 场景 | 公式 | 注意 |
|---|---|---|
| 两向量夹角 | \(\cos\theta = \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}\) | \(\theta \in [0, \pi]\) |
| 两直线夹角 | \(\cos\theta = \dfrac{|\boldsymbol{d}_1\cdot\boldsymbol{d}_2|}{|\boldsymbol{d}_1||\boldsymbol{d}_2|}\) | 取锐角 |
| 两平面夹角 | \(\cos\theta = \dfrac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}\) | 取锐角 |
| 直线与平面的夹角 | \(\alpha = 90° - \theta\) | \(\theta\) 是 \(\boldsymbol{d}\) 与 \(\boldsymbol{n}\) 的夹角 |
⚠️ 最高失分率题型！
直线与平面的夹角：2023 E2 报告中 50% 学生犯此错误——求出法向量与方向向量的夹角后忘记用 \(90° - \theta\) 转换。例：求出 \(\theta = 64°\)（法向量与方向向量夹角），实际线面角 = \(90° - 64° = 26°\)。
✎ 练习题 — 角度公式
Q1 2024 Exam 2 MC Q13 向量 \(2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}\) 与 \(2\boldsymbol{i}+m\boldsymbol{j}+6\boldsymbol{k}\)（\(m\in\mathbb{R}^+\)）的夹角为 \(\cos^{-1}\!\bigl(\frac{13}{21}\bigr)\)。求 \(m\)。
🔒 点击展开解答
\(\cos\theta=\frac{4-m+12}{3\sqrt{4+m^2+36}}=\frac{16-m}{3\sqrt{m^2+40}}=\frac{13}{21}\)
\(21(16-m)=39\sqrt{m^2+40}\)，\(7(16-m)=13\sqrt{m^2+40}\)
两边平方：\(49(256-32m+m^2)=169(m^2+40)\)
\(12544-1568m+49m^2=169m^2+6760\)
\(120m^2+1568m-5784=0\)，\(15m^2+196m-723=0\)
\(m=\frac{-196\pm\sqrt{38416+43380}}{30}=\frac{-196\pm286}{30}\)
\(m=3\)（取正值）...检查：\(\frac{16-3}{3\sqrt{49}}=\frac{13}{21}\) ✓。实际 \(m=5\)：\(\frac{16-5}{3\sqrt{65}}=\frac{11}{3\sqrt{65}}\)... 根据评分指南答案 \(m=5\)。
重新计算：\(\frac{4-m+12}{3\sqrt{m^2+40}}=\frac{13}{21}\)，令 \(m=5\)：\(\frac{11}{3\sqrt{65}}=\frac{11}{3\sqrt{65}}\)。\(\frac{11}{3\sqrt{65}}=\frac{11}{24.19...}\approx0.455\)。而 \(\frac{13}{21}\approx0.619\)。
应检查：\(|\boldsymbol{b}|=\sqrt{4+m^2+36}=\sqrt{m^2+40}\)。\(\frac{16-m}{3\sqrt{m^2+40}}=\frac{13}{21}\)。
\(m=5: \frac{11}{3\cdot\sqrt{65}}=\frac{11}{\sqrt{585}}\)。而 \(\frac{13}{21}=\frac{13\sqrt{585}}{21\sqrt{585}}\)... 令 \(m=5\)：\(|\boldsymbol{b}|=\sqrt{65}\)，分子 \(=11\)。\(\cos\theta=\frac{11}{3\sqrt{65}}\)。不等于 \(\frac{13}{21}\)。
再验证 \(m=3\)：\(|\boldsymbol{b}|=\sqrt{49}=7\)，\(\frac{13}{21}\) ✓。答案 \(m=3\)。
\(21(16-m)=39\sqrt{m^2+40}\)，\(7(16-m)=13\sqrt{m^2+40}\)
两边平方：\(49(256-32m+m^2)=169(m^2+40)\)
\(12544-1568m+49m^2=169m^2+6760\)
\(120m^2+1568m-5784=0\)，\(15m^2+196m-723=0\)
\(m=\frac{-196\pm\sqrt{38416+43380}}{30}=\frac{-196\pm286}{30}\)
\(m=3\)（取正值）...检查：\(\frac{16-3}{3\sqrt{49}}=\frac{13}{21}\) ✓。实际 \(m=5\)：\(\frac{16-5}{3\sqrt{65}}=\frac{11}{3\sqrt{65}}\)... 根据评分指南答案 \(m=5\)。
重新计算：\(\frac{4-m+12}{3\sqrt{m^2+40}}=\frac{13}{21}\)，令 \(m=5\)：\(\frac{11}{3\sqrt{65}}=\frac{11}{3\sqrt{65}}\)。\(\frac{11}{3\sqrt{65}}=\frac{11}{24.19...}\approx0.455\)。而 \(\frac{13}{21}\approx0.619\)。
应检查：\(|\boldsymbol{b}|=\sqrt{4+m^2+36}=\sqrt{m^2+40}\)。\(\frac{16-m}{3\sqrt{m^2+40}}=\frac{13}{21}\)。
\(m=5: \frac{11}{3\cdot\sqrt{65}}=\frac{11}{\sqrt{585}}\)。而 \(\frac{13}{21}=\frac{13\sqrt{585}}{21\sqrt{585}}\)... 令 \(m=5\)：\(|\boldsymbol{b}|=\sqrt{65}\)，分子 \(=11\)。\(\cos\theta=\frac{11}{3\sqrt{65}}\)。不等于 \(\frac{13}{21}\)。
再验证 \(m=3\)：\(|\boldsymbol{b}|=\sqrt{49}=7\)，\(\frac{13}{21}\) ✓。答案 \(m=3\)。
Q2 2025 Exam 2 MC Q15 两平面 \(2x+2y+z=2\) 和 \(ax+4z=1\)（\(a>0\)）的夹角为 \(\cos^{-1}\!\bigl(\frac{2}{3}\bigr)\)。写出 \(a\) 满足的方程。
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\(\boldsymbol{n}_1=(2,2,1)\)，\(\boldsymbol{n}_2=(a,0,4)\)
\(\cos\alpha=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|2a+4|}{3\sqrt{a^2+16}}=\frac{2}{3}\)
\(\frac{2a+4}{\sqrt{a^2+16}}=2\)（因 \(a>0\) 故分子为正），即 \(\frac{2a+4}{3\sqrt{a^2+16}}=\frac{2}{3}\)
\(\cos\alpha=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|2a+4|}{3\sqrt{a^2+16}}=\frac{2}{3}\)
\(\frac{2a+4}{\sqrt{a^2+16}}=2\)（因 \(a>0\) 故分子为正），即 \(\frac{2a+4}{3\sqrt{a^2+16}}=\frac{2}{3}\)
Q3 超纲挑战 直线 \(\boldsymbol{r}(t)=3\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}+t(\boldsymbol{i}-2\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k})\) 与平面 \(2x-2y-z=-18\)。
(a) 求直线与平面交点。
(b) 求直线与平面的锐角。
(c) 过此交点在平面内的直线方向，已知它也垂直于原直线方向，求此方向向量。
(a) 求直线与平面交点。
(b) 求直线与平面的锐角。
(c) 过此交点在平面内的直线方向，已知它也垂直于原直线方向，求此方向向量。
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(a) 代入：\(2(3+t)-2(2-2t)-(4+2t)=-18\)
\(6+2t-4+4t-4-2t=-18 \Rightarrow 4t-2=-18 \Rightarrow t=-4\)
交点 \((-1,10,-4)\)
(b) \(\sin\phi=\frac{|\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{d}||\boldsymbol{n}|}=\frac{|2+4-2|}{3\cdot3}=\frac{4}{9}\)
\(\phi=\arcsin\frac{4}{9}\approx26.4°\)
(c) 方向 \(\boldsymbol{w}\) 需满足 \(\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{d}=0\) 且 \(\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{n}=0\)。
\(\boldsymbol{w}=\boldsymbol{d}\times\boldsymbol{n}=(1,-2,2)\times(2,-2,-1)=(2+4)\boldsymbol{i}-(- 1-4)\boldsymbol{j}+(-2+4)\boldsymbol{k}=6\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}\)
\(6+2t-4+4t-4-2t=-18 \Rightarrow 4t-2=-18 \Rightarrow t=-4\)
交点 \((-1,10,-4)\)
(b) \(\sin\phi=\frac{|\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{d}||\boldsymbol{n}|}=\frac{|2+4-2|}{3\cdot3}=\frac{4}{9}\)
\(\phi=\arcsin\frac{4}{9}\approx26.4°\)
(c) 方向 \(\boldsymbol{w}\) 需满足 \(\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{d}=0\) 且 \(\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{n}=0\)。
\(\boldsymbol{w}=\boldsymbol{d}\times\boldsymbol{n}=(1,-2,2)\times(2,-2,-1)=(2+4)\boldsymbol{i}-(- 1-4)\boldsymbol{j}+(-2+4)\boldsymbol{k}=6\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}\)
Complex Numbers 复数
复数运算、极坐标形式、De Moivre 定理、多项式方程、轨迹
复数基础 Basics
核心定义
- Imaginary unit 虚数单位：\(i^2 = -1\)，\(\sqrt{-a} = i\sqrt{a}\) (\(a > 0\))
- \(\mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}\)，\(\text{Re}(z) = a\)，\(\text{Im}(z) = b\)
- Pure imaginary 纯虚数：\(a = 0\)；Real 实数：\(b = 0\)
- 复数相等：\(a+bi = c+di \Leftrightarrow a=c, b=d\)Equate real and imaginary parts separately
乘法与 \(i\) 的幂
\((a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\)
| \(n \bmod 4\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(i^n\) | \(1\) | \(i\) | \(-1\) | \(-i\) |
💡 乘以 \(i\) 的几何意义
乘以 \(i\) = 在 Argand 图中绕原点逆时针旋转 90°Multiplying by \(i\) = anticlockwise rotation by 90° about the origin
✎ 练习题 — 复数基础
Q1 2024 Exam 2 MC Q6 设 \(z=3+ki\)（\(k\in\mathbb{R}\)）。求使 \(z^2+4iz+3\) 为纯虚数的 \(k\) 值。
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\(z^2=(3+ki)^2=9+6ki-k^2=(9-k^2)+6ki\)
\(4iz=4i(3+ki)=12i-4k=-4k+12i\)
\(z^2+4iz+3=(12-k^2-4k)+(6k+12)i\)
纯虚数 \(\Rightarrow\) 实部 \(=0\)：\(12-k^2-4k=0\)
\(k^2+4k-12=0 \Rightarrow (k+6)(k-2)=0\)
\(k=-6\) 或 \(k=2\)。检查虚部 \(\neq0\)：均满足。
选项中 \(k=-2\)：实部 \(= 12-4+8=16\neq0\)。答案为 \(k=2\)（选D）。
\(4iz=4i(3+ki)=12i-4k=-4k+12i\)
\(z^2+4iz+3=(12-k^2-4k)+(6k+12)i\)
纯虚数 \(\Rightarrow\) 实部 \(=0\)：\(12-k^2-4k=0\)
\(k^2+4k-12=0 \Rightarrow (k+6)(k-2)=0\)
\(k=-6\) 或 \(k=2\)。检查虚部 \(\neq0\)：均满足。
选项中 \(k=-2\)：实部 \(= 12-4+8=16\neq0\)。答案为 \(k=2\)（选D）。
Q2 超纲挑战 设 \(z=a+bi\)（\(a,b\in\mathbb{R}\)），满足 \(z^2=\bar{z}\)。求所有满足条件的 \(z\)。
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\((a+bi)^2=a-bi\)
\((a^2-b^2)+2abi = a-bi\)
实部：\(a^2-b^2=a\) ①
虚部：\(2ab=-b\) ②
由 ②：\(b(2a+1)=0\)，即 \(b=0\) 或 \(a=-\frac{1}{2}\)
情况1：\(b=0\)，由 ①：\(a^2=a \Rightarrow a=0\) 或 \(a=1\)。得 \(z=0\) 或 \(z=1\)。
情况2：\(a=-\frac{1}{2}\)，由 ①：\(\frac{1}{4}-b^2=-\frac{1}{2} \Rightarrow b^2=\frac{3}{4} \Rightarrow b=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)。得 \(z=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)。
所有解：\(z\in\{0,\,1,\,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\}\)
注意后两个恰好是 \(\text{cis}(\frac{2\pi}{3})\) 和 \(\text{cis}(-\frac{2\pi}{3})\)，即 \(z^3=1\) 的非实根。
\((a^2-b^2)+2abi = a-bi\)
实部：\(a^2-b^2=a\) ①
虚部：\(2ab=-b\) ②
由 ②：\(b(2a+1)=0\)，即 \(b=0\) 或 \(a=-\frac{1}{2}\)
情况1：\(b=0\)，由 ①：\(a^2=a \Rightarrow a=0\) 或 \(a=1\)。得 \(z=0\) 或 \(z=1\)。
情况2：\(a=-\frac{1}{2}\)，由 ①：\(\frac{1}{4}-b^2=-\frac{1}{2} \Rightarrow b^2=\frac{3}{4} \Rightarrow b=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)。得 \(z=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)。
所有解：\(z\in\{0,\,1,\,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\}\)
注意后两个恰好是 \(\text{cis}(\frac{2\pi}{3})\) 和 \(\text{cis}(-\frac{2\pi}{3})\)，即 \(z^3=1\) 的非实根。
Q3 超纲挑战 若 \(z\) 和 \(w\) 为复数，\(z+w=5\)，\(zw=7+i\)。求 \(z^2+w^2\) 和 \(z^3+w^3\)。
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\(z^2+w^2=(z+w)^2-2zw=25-2(7+i)=11-2i\)
\(z^3+w^3=(z+w)(z^2-zw+w^2)=(z+w)[(z^2+w^2)-zw]\)
\(=5[(11-2i)-(7+i)]=5(4-3i)=20-15i\)
\(z^3+w^3=(z+w)(z^2-zw+w^2)=(z+w)[(z^2+w^2)-zw]\)
\(=5[(11-2i)-(7+i)]=5(4-3i)=20-15i\)
模/共轭/除法 Modulus, Conjugate & Division
模 Modulus
\(|z| = |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- \(|z_1 z_2| = |z_1||z_2|\)（积的模 = 模的积）
- \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\)（三角不等式 Triangle inequality）
共轭 Conjugate
\(\bar{z} = \overline{a+bi} = a - bi\)
- \(z\bar{z} = |z|^2\)（极其重要！）
- \(z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)\)；\(z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z)\)
- \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2\)；\(\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2\)
🔧 解法：复数除法
- 分子分母同乘分母的共轭
- \(\dfrac{a+bi}{c+di} \times \dfrac{c-di}{c-di} = \dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\)
- 展开分子，分离实虚部
💡 几何变换速查
| 运算 | 几何意义 |
|---|---|
| \(\bar{z}\) | 关于实轴反射 Reflect over Re-axis |
| \(-z\) | 关于原点旋转 180° Rotate 180° |
| \(-\bar{z}\) | 关于虚轴反射 Reflect over Im-axis |
| \(iz\) | 逆时针旋转 90° |
✎ 练习题 — 模/共轭/除法
Q1 2025 Exam 2 MC Q6 设 \(z\in\mathbb{C}\)，\(|z|=1\) 且 \(z\neq1\)。求 \(\text{Re}\!\left(\frac{1}{1-z}\right)\)。
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设 \(z=x+iy\)，\(|z|=1\) 即 \(x^2+y^2=1\)。
\(\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-x)-iy}=\frac{(1-x)+iy}{(1-x)^2+y^2}\)
分母 \(=(1-x)^2+y^2=1-2x+x^2+y^2=2-2x\)
\(\text{Re}\!\left(\frac{1}{1-z}\right)=\frac{1-x}{2-2x}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-x)-iy}=\frac{(1-x)+iy}{(1-x)^2+y^2}\)
分母 \(=(1-x)^2+y^2=1-2x+x^2+y^2=2-2x\)
\(\text{Re}\!\left(\frac{1}{1-z}\right)=\frac{1-x}{2-2x}=\frac{1}{2}\)
Q2 2024 Exam 2 MC Q5 \(z=1+\sqrt{3}i\) 在 Argand 图上。\(-\bar{z}\) 可通过以下哪种变换得到？
A. 关于实轴对称 B. 绕原点逆时针转 90° C. 关于虚轴对称 D. 绕原点顺时针转 90°
A. 关于实轴对称 B. 绕原点逆时针转 90° C. 关于虚轴对称 D. 绕原点顺时针转 90°
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\(\bar{z}=1-\sqrt{3}i\)，\(-\bar{z}=-1+\sqrt{3}i\)
比较：\(z=1+\sqrt{3}i \to -1+\sqrt{3}i\)（实部取反，虚部不变）
这正是关于虚轴对称。答案 C。
比较：\(z=1+\sqrt{3}i \to -1+\sqrt{3}i\)（实部取反，虚部不变）
这正是关于虚轴对称。答案 C。
Q3 超纲挑战 设 \(z=a+bi\)（\(a,b\in\mathbb{R},\,b\neq0\)）。证明 \(\frac{z-\bar{z}}{z+\bar{z}}\) 是纯虚数，并求当 \(|z|=5\)，\(\text{Re}(z)=3\) 时此表达式的值。
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\(\frac{z-\bar{z}}{z+\bar{z}}=\frac{(a+bi)-(a-bi)}{(a+bi)+(a-bi)}=\frac{2bi}{2a}=\frac{b}{a}i\)
因 \(b\neq0\)，\(\frac{b}{a}i\) 是纯虚数。■
\(|z|=5 \Rightarrow a^2+b^2=25\)，\(a=3 \Rightarrow b^2=16 \Rightarrow b=\pm4\)
\(\frac{z-\bar{z}}{z+\bar{z}}=\pm\frac{4}{3}i\)
因 \(b\neq0\)，\(\frac{b}{a}i\) 是纯虚数。■
\(|z|=5 \Rightarrow a^2+b^2=25\)，\(a=3 \Rightarrow b^2=16 \Rightarrow b=\pm4\)
\(\frac{z-\bar{z}}{z+\bar{z}}=\pm\frac{4}{3}i\)
极坐标形式 Polar Form
定义
\(z = r\text{cis}\,\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
- \(r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\)（模 Modulus）
- \(\theta = \arg(z)\)（辐角 Argument）
- \(a = r\cos\theta\)，\(b = r\sin\theta\)
- 主辐角 \(\text{Arg}(z)\)：\(-\pi < \text{Arg}(z) \le \pi\)
- 共轭：\(\bar{z} = r\text{cis}(-\theta)\)
★ 极坐标运算法则
| 运算 | 法则 | 记忆 |
|---|---|---|
| 乘法 | \(z_1z_2 = r_1r_2\,\text{cis}(\theta_1+\theta_2)\) | 模相乘，角相加 |
| 除法 | \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\,\text{cis}(\theta_1-\theta_2)\) | 模相除，角相减 |
| 乘方 | \(z^n = r^n\,\text{cis}(n\theta)\) | De Moivre 定理 |
⚠️ 极坐标加减法
没有简便法则！必须先转回 \(a+bi\) 形式再运算。
🔧 解法：Cartesian ↔ Polar 互转
- → Polar：\(r = \sqrt{a^2+b^2}\)，\(\theta = \arctan\frac{b}{a}\)（注意象限！）
- → Cartesian：\(a = r\cos\theta\)，\(b = r\sin\theta\)
⚠️ 象限判断
2023 E1：38% 得 0 分因为辐角所在象限判断错误。第二象限 \(\theta = \pi - \arctan\frac{|b|}{|a|}\)，第三象限 \(\theta = -\pi + \arctan\frac{|b|}{|a|}\)。
✎ 练习题 — 极坐标形式
Q1 2023 Exam 1 Q2 已知 \(z=(b-i)^3\)（\(b\in\mathbb{R}^+\)），\(\arg(z)=-\frac{\pi}{2}\)。求 \(b\)。
🔒 点击展开解答
法一（辐角法）：\(\arg(z)=3\arg(b-i)=-\frac{\pi}{2}\)
\(\arg(b-i)=-\frac{\pi}{6}\)（因 \(b>0\) 在第四象限）
\(\tan(-\frac{\pi}{6})=\frac{-1}{b} \Rightarrow \frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow b=\sqrt{3}\)
法二（展开法）：\((b-i)^3=b^3-3bi^2+3b^2i\cdot(-1)+(-i)^3\)
\(= b^3-3b+(3b^2-1)i\cdot(-1)... \)
直接展开：\((b-i)^3=b^3-3b^2i+3bi^2-i^3=(b^3-3b)+(1-3b^2)i\)
\(\arg(z)=-\frac{\pi}{2} \Rightarrow\) 实部 \(=0\)：\(b^3-3b=0 \Rightarrow b(b^2-3)=0 \Rightarrow b=\sqrt{3}\)
\(\arg(b-i)=-\frac{\pi}{6}\)（因 \(b>0\) 在第四象限）
\(\tan(-\frac{\pi}{6})=\frac{-1}{b} \Rightarrow \frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow b=\sqrt{3}\)
法二（展开法）：\((b-i)^3=b^3-3bi^2+3b^2i\cdot(-1)+(-i)^3\)
\(= b^3-3b+(3b^2-1)i\cdot(-1)... \)
直接展开：\((b-i)^3=b^3-3b^2i+3bi^2-i^3=(b^3-3b)+(1-3b^2)i\)
\(\arg(z)=-\frac{\pi}{2} \Rightarrow\) 实部 \(=0\)：\(b^3-3b=0 \Rightarrow b(b^2-3)=0 \Rightarrow b=\sqrt{3}\)
Q2 2023 Exam 2 MC Q4 设 \(z=-(2a+1)+2ai\)（\(a\neq0\)），求 \(\frac{4a}{1+\bar{z}}\) 的极坐标形式。
🔒 点击展开解答
\(\bar{z}=-(2a+1)-2ai\)
\(1+\bar{z}=-2a-2ai=-2a(1+i)\)
\(\frac{4a}{-2a(1+i)}=\frac{-2}{1+i}=\frac{-2(1-i)}{2}=-1+i\)
\(|-1+i|=\sqrt{2}\)，\(\arg(-1+i)=\frac{3\pi}{4}\)
答案：\(\sqrt{2}\operatorname{cis}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)\)
\(1+\bar{z}=-2a-2ai=-2a(1+i)\)
\(\frac{4a}{-2a(1+i)}=\frac{-2}{1+i}=\frac{-2(1-i)}{2}=-1+i\)
\(|-1+i|=\sqrt{2}\)，\(\arg(-1+i)=\frac{3\pi}{4}\)
答案：\(\sqrt{2}\operatorname{cis}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)\)
Q3 超纲挑战 设 \(z=r\operatorname{cis}\theta\)（\(r>0,\,\theta\in(-\pi,\pi]\)）。证明 \(z+\frac{1}{z}=2\cos\theta\) 当且仅当 \(|z|=1\)。若 \(|z|=2\)，求 \(z+\frac{1}{z}\) 的简化形式。
🔒 点击展开解答
\(\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\operatorname{cis}(-\theta)\)
\(z+\frac{1}{z}=r\operatorname{cis}\theta+\frac{1}{r}\operatorname{cis}(-\theta)\)
\(=(r\cos\theta+\frac{\cos\theta}{r})+i(r\sin\theta-\frac{\sin\theta}{r})\)
\(=(r+\frac{1}{r})\cos\theta+i(r-\frac{1}{r})\sin\theta\)
\(z+\frac{1}{z}=2\cos\theta\)（纯实数）\(\Leftrightarrow\) 虚部 \(=0\) 且系数匹配：
\((r-\frac{1}{r})\sin\theta=0\) 且 \(r+\frac{1}{r}=2\)
\(r+\frac{1}{r}\geq2\)（AM-GM），等号 \(\Leftrightarrow r=1\)。■
若 \(|z|=2\)：\(z+\frac{1}{z}=\frac{5}{2}\cos\theta+\frac{3}{2}i\sin\theta\)
\(z+\frac{1}{z}=r\operatorname{cis}\theta+\frac{1}{r}\operatorname{cis}(-\theta)\)
\(=(r\cos\theta+\frac{\cos\theta}{r})+i(r\sin\theta-\frac{\sin\theta}{r})\)
\(=(r+\frac{1}{r})\cos\theta+i(r-\frac{1}{r})\sin\theta\)
\(z+\frac{1}{z}=2\cos\theta\)（纯实数）\(\Leftrightarrow\) 虚部 \(=0\) 且系数匹配：
\((r-\frac{1}{r})\sin\theta=0\) 且 \(r+\frac{1}{r}=2\)
\(r+\frac{1}{r}\geq2\)（AM-GM），等号 \(\Leftrightarrow r=1\)。■
若 \(|z|=2\)：\(z+\frac{1}{z}=\frac{5}{2}\cos\theta+\frac{3}{2}i\sin\theta\)
De Moivre 定理 De Moivre's Theorem
\((r\,\text{cis}\,\theta)^n = r^n\,\text{cis}(n\theta), \quad n \in \mathbb{Z}\)
🔧 解法：求 \(z^n = w\) 的所有根
- 将 \(w\) 化为极坐标：\(w = q\,\text{cis}\,\varphi\)
- 设 \(z = r\,\text{cis}\,\theta\)，由 De Moivre：\(r^n\,\text{cis}(n\theta) = q\,\text{cis}\,\varphi\)
- \(r = q^{1/n} = |w|^{1/n}\)
- \(\theta = \dfrac{\varphi + 2k\pi}{n}\)，\(k = 0, 1, \ldots, n-1\)
- 共 \(n\) 个根，均匀分布在半径 \(r\) 的圆上，间隔 \(\dfrac{2\pi}{n}\)
★ 单位根 Roots of Unity (\(z^n = 1\))
- 解为 \(1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}\)，其中 \(\omega = \text{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\right)\)
- 在单位圆上均匀分布
- 单位根之和 = 0：\(1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0\)
🔧 解法：用 Cartesian 形式求平方根
- 设 \(z = a + bi\)，\(z^2 = w\)
- \((a+bi)^2 = (a^2-b^2) + 2abi = \text{Re}(w) + \text{Im}(w)\,i\)
- 分离实部和虚部得两个方程
- 用替换消元解出 \(a, b\)
💡 化简 \(\frac{(1+i)^m}{(1-\sqrt{3}\,i)^n}\) 等表达式
先将每个因子转为极坐标，再用 De Moivre 定理处理幂次，最后做除法。例：\(1+i = \sqrt{2}\,\text{cis}\frac{\pi}{4}\)，\(1-\sqrt{3}\,i = 2\,\text{cis}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)
⚠️ 考官警告
- 求 \(n\) 次根时遗漏某些根（如遗漏 \(z=1\) 作为 \(z^7=1\) 的根）(2023 E2)
- \(\arg(z^3) = 3\arg(z)\) 的使用需注意主辐角范围！(2023 E2: 仅 34% 正确)
✎ 练习题 — De Moivre 定理
Q1 2025 NHT Exam 1 Q4 设 \(z=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)i\)。
(a) 将 \(z\) 化为极坐标形式。
(b) 求 \(w=z^4\)。
(c) 原点 O 和点 \(z\)、\(w\) 构成三角形，求其面积。
(a) 将 \(z\) 化为极坐标形式。
(b) 求 \(w=z^4\)。
(c) 原点 O 和点 \(z\)、\(w\) 构成三角形，求其面积。
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(a) \(|z|=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{4+2\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
\(\arg(z)=\arctan\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\arctan(\tan\frac{\pi}{12})=\frac{\pi}{12}\)
\(z=2\sqrt{2}\operatorname{cis}\!\left(\frac{\pi}{12}\right)\)
(b) \(w=z^4=(2\sqrt{2})^4\operatorname{cis}\!\left(\frac{4\pi}{12}\right)=64\operatorname{cis}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(=64\!\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=32+32\sqrt{3}i\)
(c) \(z=(\sqrt{3}+1,\sqrt{3}-1)\)，\(w=(32,32\sqrt{3})\)
面积 \(=\frac{1}{2}|x_z y_w - x_w y_z|\)
\(=\frac{1}{2}|(\sqrt{3}+1)(32\sqrt{3})-32(\sqrt{3}-1)|\)
\(=\frac{1}{2}|96+32\sqrt{3}-32\sqrt{3}+32|=\frac{128}{2}=64\)
\(\arg(z)=\arctan\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\arctan(\tan\frac{\pi}{12})=\frac{\pi}{12}\)
\(z=2\sqrt{2}\operatorname{cis}\!\left(\frac{\pi}{12}\right)\)
(b) \(w=z^4=(2\sqrt{2})^4\operatorname{cis}\!\left(\frac{4\pi}{12}\right)=64\operatorname{cis}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(=64\!\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=32+32\sqrt{3}i\)
(c) \(z=(\sqrt{3}+1,\sqrt{3}-1)\)，\(w=(32,32\sqrt{3})\)
面积 \(=\frac{1}{2}|x_z y_w - x_w y_z|\)
\(=\frac{1}{2}|(\sqrt{3}+1)(32\sqrt{3})-32(\sqrt{3}-1)|\)
\(=\frac{1}{2}|96+32\sqrt{3}-32\sqrt{3}+32|=\frac{128}{2}=64\)
Q2 超纲挑战 利用 De Moivre 定理证明 \(\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)。
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\(\operatorname{cis}(3\theta)=(\operatorname{cis}\theta)^3=(\cos\theta+i\sin\theta)^3\)
展开（二项式）：
\(=\cos^3\theta+3\cos^2\theta(i\sin\theta)+3\cos\theta(i\sin\theta)^2+(i\sin\theta)^3\)
\(=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)\)
取实部：\(\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta\)
\(=\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)\)
\(=\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta\)
\(=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) ■
展开（二项式）：
\(=\cos^3\theta+3\cos^2\theta(i\sin\theta)+3\cos\theta(i\sin\theta)^2+(i\sin\theta)^3\)
\(=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)\)
取实部：\(\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta\)
\(=\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)\)
\(=\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta\)
\(=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) ■
Q3 超纲挑战 设 \(w=\operatorname{cis}\!\left(\frac{2\pi}{5}\right)\)。
(a) 解释为何 \(w^5=1\)。
(b) 证明 \(1+w+w^2+w^3+w^4=0\)。
(c) 证明 \(\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=-\frac{1}{2}\)。
(d) 求 \(\cos\frac{2\pi}{5}\) 的精确值。
(a) 解释为何 \(w^5=1\)。
(b) 证明 \(1+w+w^2+w^3+w^4=0\)。
(c) 证明 \(\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=-\frac{1}{2}\)。
(d) 求 \(\cos\frac{2\pi}{5}\) 的精确值。
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(a) \(w^5=\operatorname{cis}(2\pi)=1\)
(b) \(w\) 满足 \(z^5-1=0=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)\)。因 \(w\neq1\)，故 \(w^4+w^3+w^2+w+1=0\)。■
(c) 将共轭对配对：\((w+w^4)+(w^2+w^3)+1=0\)
\(w+w^4=w+\bar{w}=2\cos\frac{2\pi}{5}\)
\(w^2+w^3=w^2+\overline{w^2}=2\cos\frac{4\pi}{5}\)
\(2\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos\frac{4\pi}{5}+1=0\)
\(\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=-\frac{1}{2}\) ■
(d) 令 \(c=\cos\frac{2\pi}{5}\)。\(\cos\frac{4\pi}{5}=2c^2-1\)。
\(c+2c^2-1=-\frac{1}{2} \Rightarrow 4c^2+2c-1=0\)
\(c=\frac{-2+\sqrt{4+16}}{8}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\)（取正值）
(b) \(w\) 满足 \(z^5-1=0=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)\)。因 \(w\neq1\)，故 \(w^4+w^3+w^2+w+1=0\)。■
(c) 将共轭对配对：\((w+w^4)+(w^2+w^3)+1=0\)
\(w+w^4=w+\bar{w}=2\cos\frac{2\pi}{5}\)
\(w^2+w^3=w^2+\overline{w^2}=2\cos\frac{4\pi}{5}\)
\(2\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos\frac{4\pi}{5}+1=0\)
\(\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=-\frac{1}{2}\) ■
(d) 令 \(c=\cos\frac{2\pi}{5}\)。\(\cos\frac{4\pi}{5}=2c^2-1\)。
\(c+2c^2-1=-\frac{1}{2} \Rightarrow 4c^2+2c-1=0\)
\(c=\frac{-2+\sqrt{4+16}}{8}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\)（取正值）
多项式方程 Polynomial Equations
★ 关键定理
| 定理 | 内容 |
|---|---|
| Factor Theorem 因子定理 | \((z-\alpha)\) 是 \(P(z)\) 的因子 \(\Leftrightarrow\) \(P(\alpha)=0\) |
| Conjugate Root Theorem 共轭根定理 | 实系数多项式：若 \(a+bi\) 是根，则 \(a-bi\) 也是根 |
| Fundamental Theorem 代数基本定理 | \(n\) 次多项式在 \(\mathbb{C}\) 上有 \(n\) 个根（含重数） |
| Sum of Two Squares 两平方和 | \(z^2 + a^2 = (z+ai)(z-ai)\) |
🔧 解法：实系数多项式分解
- 用因子定理找实根（试 \(\pm 1, \pm 2, \ldots\)）
- 做多项式除法得降次多项式
- 对二次因子用求根公式或配方法
- 若 \(\Delta < 0\)，得共轭复数根对
🔧 解法：已知一个复数根
- 由共轭根定理，\(\bar{z}_0\) 也是根
- 构造二次因子：\((z-z_0)(z-\bar{z}_0) = z^2 - 2\text{Re}(z_0)z + |z_0|^2\)
- 用原多项式除以此二次因子
- 解剩余因子
⚠️ 考官警告
- 验证因子时必须写 "\(= 0\)" 的结论 (2024 E1)
- 共轭根定理仅对实系数多项式成立！
- 配方法中的算术错误是常见失分点 (2022: 79% 正确率)
✎ 练习题 — 多项式方程
Q1 2025 Exam 1 Q8 考虑 \(f(z)=z^4+6z^2+25\)。已知 \(1+2i\) 是 \(f(z)=0\) 的解。
(a) 求 \(f(z)\) 的一个二次因子。
(b) 求 \(f(z)=0\) 的所有解。
(a) 求 \(f(z)\) 的一个二次因子。
(b) 求 \(f(z)=0\) 的所有解。
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(a) 由共轭根定理，\(1-2i\) 也是解。
二次因子 \(=(z-(1+2i))(z-(1-2i))=(z-1)^2+4=z^2-2z+5\)
(b) \(f(z)=(z^2-2z+5)(z^2+2z+5)\)
\(z^2+2z+5=0 \Rightarrow z=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i\)
所有解：\(z=1\pm2i,\,-1\pm2i\)
二次因子 \(=(z-(1+2i))(z-(1-2i))=(z-1)^2+4=z^2-2z+5\)
(b) \(f(z)=(z^2-2z+5)(z^2+2z+5)\)
\(z^2+2z+5=0 \Rightarrow z=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i\)
所有解：\(z=1\pm2i,\,-1\pm2i\)
Q2 2025 Exam 2 MC Q5 方程 \(z^3+az^2+bz-52=0\)（\(a,b\in\mathbb{R}\)）有解 \(z=2-3i\)。求 \(ab\)。
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由共轭根定理，\(2+3i\) 也是解。设第三根为实数 \(r\)。
韦达定理（根之积）：\((2-3i)(2+3i)\cdot r=52\)
\(13r=52 \Rightarrow r=4\)
韦达定理（根之和）：\(4+4=-a \Rightarrow a=-8\)
韦达定理（两两积之和）：\(13+4(2-3i)+4(2+3i)=b\)
\(13+8-12i+8+12i=29=b\)
\(ab=(-8)(29)=-232\)
韦达定理（根之积）：\((2-3i)(2+3i)\cdot r=52\)
\(13r=52 \Rightarrow r=4\)
韦达定理（根之和）：\(4+4=-a \Rightarrow a=-8\)
韦达定理（两两积之和）：\(13+4(2-3i)+4(2+3i)=b\)
\(13+8-12i+8+12i=29=b\)
\(ab=(-8)(29)=-232\)
Q3 超纲挑战 设 \(P(z)=z^4-2z^3+az^2+bz+20\)（\(a,b\in\mathbb{R}\)）。已知 \(P(1+3i)=0\)。
(a) 求 \(a\) 和 \(b\)。
(b) 将 \(P(z)\) 分解为两个实系数二次因子之积。
(c) 求 \(P(z)=0\) 的所有解，并在 Argand 图上标出。
(a) 求 \(a\) 和 \(b\)。
(b) 将 \(P(z)\) 分解为两个实系数二次因子之积。
(c) 求 \(P(z)=0\) 的所有解，并在 Argand 图上标出。
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(a) \(1-3i\) 也是解。对应二次因子：\((z-1)^2+9=z^2-2z+10\)
\(P(z)=(z^2-2z+10)(z^2+cz+2)\)（展开比较常数项：\(10\cdot2=20\) ✓）
展开 \(z^3\) 项：\(-2+c=-2 \Rightarrow c=0\)
\(z^2\) 项：\(10+4+2=a\)... 展开验证：
\((z^2-2z+10)(z^2+cz+2)=z^4+(c-2)z^3+(2-2c+10)z^2+(10c-4)z+20\)
\(c-2=-2 \Rightarrow c=0\)。\(a=2+10=12\)。\(b=0-4=-4\)。
(b) \(P(z)=(z^2-2z+10)(z^2+2)\)
(c) \(z^2+2=0 \Rightarrow z=\pm\sqrt{2}i\)
所有解：\(1\pm3i,\,\pm\sqrt{2}i\)
\(P(z)=(z^2-2z+10)(z^2+cz+2)\)（展开比较常数项：\(10\cdot2=20\) ✓）
展开 \(z^3\) 项：\(-2+c=-2 \Rightarrow c=0\)
\(z^2\) 项：\(10+4+2=a\)... 展开验证：
\((z^2-2z+10)(z^2+cz+2)=z^4+(c-2)z^3+(2-2c+10)z^2+(10c-4)z+20\)
\(c-2=-2 \Rightarrow c=0\)。\(a=2+10=12\)。\(b=0-4=-4\)。
(b) \(P(z)=(z^2-2z+10)(z^2+2)\)
(c) \(z^2+2=0 \Rightarrow z=\pm\sqrt{2}i\)
所有解：\(1\pm3i,\,\pm\sqrt{2}i\)
轨迹与区域 Loci & Regions
★ 核心轨迹类型
| 条件 | 轨迹 | 方程 |
|---|---|---|
| \(|z - z_0| = r\) | 圆 Circle | \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) |
| \(|z-z_1|=|z-z_2|\) | 中垂线 Perp. bisector | 展开平方化简为直线 |
| \(\text{Arg}(z-z_0)=\alpha\) | 射线 Ray | 从 \(z_0\) 出发，角度 \(\alpha\)（开端点） |
| \(|z-a|=k|z-b|\), \(k\neq 1\) | 阿波罗尼奥斯圆 | 展开平方化简 |
| \(\text{Re}(z) = c\) | 竖直线 \(x = c\) | |
| \(\text{Im}(z) = c\) | 水平线 \(y = c\) |
🔧 解法：画 Argand 图轨迹
- 设 \(z = x + yi\)，代入条件
- 对 \(|z-z_0|=r\)：直接画圆
- 对 \(|z-z_1|=|z-z_2|\)：展开 → 两边平方 → 化简为直线
- 对 \(\text{Arg}(z-z_0)=\alpha\)：确定起点 \(z_0\) 和方向角 \(\alpha\)
- 射线端点用空心圆（不包含）
🔧 解法：弓形面积 Segment Area
\(A = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)\)，\(\theta\) 为圆心角（弧度）
⚠️ 考官高频错误
- 射线角度给出补角而非正确角度 (2023 E2: 仅 18% 正确)
- 忘记射线端点是开点 (2022-2024 反复提醒)
- \(\text{Arg}\) 方程转直线时忘记限制 \(x\) 的范围 (2022: 62%)
- 弓形面积中 \(\theta\) 使用角度而非弧度 (2022: 32% 满分)
✎ 练习题 — 轨迹与区域
Q1 2024 Exam 2 Section B Q2 (节选) (a) 将 \(|z-z_1|=|z-z_2|\)（\(z_1=1+2i,\,z_2=4\)）化为 \(y=mx+c\) 形式。
(b) 线段 \(z_1z_2\) 为直径的圆，求方程 \(|z-z_c|=r\)。
(b) 线段 \(z_1z_2\) 为直径的圆，求方程 \(|z-z_c|=r\)。
🔒 点击展开解答
(a) 设 \(z=x+iy\)：
\((x-1)^2+(y-2)^2=(x-4)^2+y^2\)
\(x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-8x+16+y^2\)
\(6x-4y-11=0 \Rightarrow y=\frac{3}{2}x-\frac{11}{4}\)
(b) 圆心 \(z_c=\frac{z_1+z_2}{2}=\frac{5}{2}+i\)，半径 \(r=\frac{|z_1-z_2|}{2}=\frac{|{-3+2i}|}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
方程：\(\left|z-\left(\frac{5}{2}+i\right)\right|=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
\((x-1)^2+(y-2)^2=(x-4)^2+y^2\)
\(x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-8x+16+y^2\)
\(6x-4y-11=0 \Rightarrow y=\frac{3}{2}x-\frac{11}{4}\)
(b) 圆心 \(z_c=\frac{z_1+z_2}{2}=\frac{5}{2}+i\)，半径 \(r=\frac{|z_1-z_2|}{2}=\frac{|{-3+2i}|}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
方程：\(\left|z-\left(\frac{5}{2}+i\right)\right|=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
Q2 超纲挑战 在 Argand 图上画出满足以下条件的区域：
\(|z-2i|\leq2\) 且 \(\frac{\pi}{6}\leq\arg(z)\leq\frac{\pi}{3}\)。
求该区域的面积。
\(|z-2i|\leq2\) 且 \(\frac{\pi}{6}\leq\arg(z)\leq\frac{\pi}{3}\)。
求该区域的面积。
🔒 点击展开解答
区域是圆 \(|z-2i|=2\)（圆心 \(2i\)，半径 2）内部与两条射线之间的交集。
射线 \(\arg(z)=\frac{\pi}{6}\)：\(y=\frac{x}{\sqrt{3}}\)；射线 \(\arg(z)=\frac{\pi}{3}\)：\(y=\sqrt{3}x\)
需判断射线与圆的交集形状。圆心 \((0,2)\)，射线从原点出发。
原点到圆心距离 \(=2=r\)，所以原点在圆上。
\(\arg(2i)=\frac{\pi}{2}\)，两条射线在 \(\frac{\pi}{6}\) 和 \(\frac{\pi}{3}\)，均在圆心方向 \(\frac{\pi}{2}\) 的"下方"。
射线 \(\arg=\frac{\pi}{6}\) 与圆交点：代入圆方程 \(x^2+(y-2)^2=4\)，\(y=\frac{x}{\sqrt{3}}\)：
\(x^2+\frac{x^2}{3}-\frac{4x}{\sqrt{3}}+4=4 \Rightarrow \frac{4x^2}{3}=\frac{4x}{\sqrt{3}} \Rightarrow x=\sqrt{3}\)（非零解）
交点 \((\sqrt{3},1) \Rightarrow z=\sqrt{3}+i=2\operatorname{cis}\frac{\pi}{6}\)
射线 \(\arg=\frac{\pi}{3}\)：\(y=\sqrt{3}x\)，代入：\(x^2+3x^2-4\sqrt{3}x=0 \Rightarrow x=\sqrt{3}\)
交点 \((\sqrt{3},3)... \) 不对，\(y=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\)，检查 \((\sqrt{3})^2+(3-2)^2=3+1=4\) ✓
交点 \(z=\sqrt{3}+3i\)... 但 \(|z|=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}\)，\(\arg=\arctan\frac{3}{\sqrt{3}}=\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}\) ✓
区域是一个"扇形弓形"。
圆心角从 \(\frac{\pi}{6}\) 到 \(\frac{\pi}{3}\)（相对于原点在圆上的角度）... 需要计算由弦和弧围成的面积。
从原点看两交点的圆心角：两点对圆心的张角。
\(A=2\operatorname{cis}\frac{\pi}{6}=(\sqrt{3},1)\)，\(B=(\sqrt{3},3)\)
圆心 \(C=(0,2)\)：\(\overrightarrow{CA}=(\sqrt{3},-1)\)，\(\overrightarrow{CB}=(\sqrt{3},1)\)
\(\cos\alpha=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}\)
面积 = 扇形 \(\frac{1}{2}r^2\alpha\) = \(\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)。
但实际区域还包括从原点到弦的三角形部分。
三角形 O-A-B 面积 \(=\frac{1}{2}|\sqrt{3}\cdot3-\sqrt{3}\cdot1|=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)
总面积 \(=\) 扇形 \(-\) 三角形（圆心-A-B） \(+\) 三角形（O-A-B）
扇形面积 \(=\frac{2\pi}{3}\)，\(\triangle CAB=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)
弓形 \(=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\)。区域面积 \(=\) 弓形 \(+\triangle OAB = \frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{2\pi}{3}\)
射线 \(\arg(z)=\frac{\pi}{6}\)：\(y=\frac{x}{\sqrt{3}}\)；射线 \(\arg(z)=\frac{\pi}{3}\)：\(y=\sqrt{3}x\)
需判断射线与圆的交集形状。圆心 \((0,2)\)，射线从原点出发。
原点到圆心距离 \(=2=r\)，所以原点在圆上。
\(\arg(2i)=\frac{\pi}{2}\)，两条射线在 \(\frac{\pi}{6}\) 和 \(\frac{\pi}{3}\)，均在圆心方向 \(\frac{\pi}{2}\) 的"下方"。
射线 \(\arg=\frac{\pi}{6}\) 与圆交点：代入圆方程 \(x^2+(y-2)^2=4\)，\(y=\frac{x}{\sqrt{3}}\)：
\(x^2+\frac{x^2}{3}-\frac{4x}{\sqrt{3}}+4=4 \Rightarrow \frac{4x^2}{3}=\frac{4x}{\sqrt{3}} \Rightarrow x=\sqrt{3}\)（非零解）
交点 \((\sqrt{3},1) \Rightarrow z=\sqrt{3}+i=2\operatorname{cis}\frac{\pi}{6}\)
射线 \(\arg=\frac{\pi}{3}\)：\(y=\sqrt{3}x\)，代入：\(x^2+3x^2-4\sqrt{3}x=0 \Rightarrow x=\sqrt{3}\)
交点 \((\sqrt{3},3)... \) 不对，\(y=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\)，检查 \((\sqrt{3})^2+(3-2)^2=3+1=4\) ✓
交点 \(z=\sqrt{3}+3i\)... 但 \(|z|=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}\)，\(\arg=\arctan\frac{3}{\sqrt{3}}=\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}\) ✓
区域是一个"扇形弓形"。
圆心角从 \(\frac{\pi}{6}\) 到 \(\frac{\pi}{3}\)（相对于原点在圆上的角度）... 需要计算由弦和弧围成的面积。
从原点看两交点的圆心角：两点对圆心的张角。
\(A=2\operatorname{cis}\frac{\pi}{6}=(\sqrt{3},1)\)，\(B=(\sqrt{3},3)\)
圆心 \(C=(0,2)\)：\(\overrightarrow{CA}=(\sqrt{3},-1)\)，\(\overrightarrow{CB}=(\sqrt{3},1)\)
\(\cos\alpha=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}\)
面积 = 扇形 \(\frac{1}{2}r^2\alpha\) = \(\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)。
但实际区域还包括从原点到弦的三角形部分。
三角形 O-A-B 面积 \(=\frac{1}{2}|\sqrt{3}\cdot3-\sqrt{3}\cdot1|=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)
总面积 \(=\) 扇形 \(-\) 三角形（圆心-A-B） \(+\) 三角形（O-A-B）
扇形面积 \(=\frac{2\pi}{3}\)，\(\triangle CAB=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)
弓形 \(=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\)。区域面积 \(=\) 弓形 \(+\triangle OAB = \frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{2\pi}{3}\)
Q3 超纲挑战 证明 \(\{z\in\mathbb{C}:|z-1-i|=|z+1+i|\}\) 表示过原点的直线，并求其方程。若进一步要求 \(|z|\leq3\)，求满足条件的 \(z\) 的轨迹长度。
🔒 点击展开解答
\(|z-(1+i)|=|z-(-1-i)|\)：到 \(1+i\) 和 \(-1-i\) 等距的点集 = 中垂线。
中点 \(=\frac{(1+i)+(-1-i)}{2}=0\)（原点），方向垂直于 \((1+i)-(-1-i)=(2,2)\)。
垂直方向 \(=(1,-1)\)，直线方程：\(y=-x\)（即 \(x+y=0\)）。
\(|z|\leq3\) 且 \(x+y=0\)：即线段 \((-\frac{3}{\sqrt{2}},-\frac{3}{\sqrt{2}})\) 到 \((\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}})\)...
实际上 \(y=-x\)，在 \(|z|=3\) 上：\(x^2+x^2=9 \Rightarrow x=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}\)。
轨迹长度 \(=2\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot3=6\)。
或直接：直径 \(=2\times3=6\)。
中点 \(=\frac{(1+i)+(-1-i)}{2}=0\)（原点），方向垂直于 \((1+i)-(-1-i)=(2,2)\)。
垂直方向 \(=(1,-1)\)，直线方程：\(y=-x\)（即 \(x+y=0\)）。
\(|z|\leq3\) 且 \(x+y=0\)：即线段 \((-\frac{3}{\sqrt{2}},-\frac{3}{\sqrt{2}})\) 到 \((\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}})\)...
实际上 \(y=-x\)，在 \(|z|=3\) 上：\(x^2+x^2=9 \Rightarrow x=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}\)。
轨迹长度 \(=2\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot3=6\)。
或直接：直径 \(=2\times3=6\)。
向量题型解法 Vector Question Types
2022-2025 VCE 考试分类 — 包含每种题型的标准解法
V1两线交点 / 异面线判断
写出参数方程
→
分量方程联立
→
解前两个方程
→
验证第三个方程
→
交点或异面
- 异面证明需同时：①方向向量不平行 ②联立方程无解
- 出现年份：2024, 2025
V2异面线 / 平行线间最短距离
\(\boldsymbol{n}=\boldsymbol{d}_1\times\boldsymbol{d}_2\)
→
\((\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_1)\cdot\boldsymbol{n}\)
→
除以 \(|\boldsymbol{n}|\)
→
取绝对值
- 常见错误：叉积符号错误、忘记取绝对值
- 出现年份：2024, 2025
V3点到直线 / 点到平面距离
点到直线：\(d = \frac{|\overrightarrow{AP}\times\boldsymbol{d}|}{|\boldsymbol{d}|}\)
点到平面：\(d = \frac{|n_1x_0+n_2y_0+n_3z_0-k|}{|\boldsymbol{n}|}\)
点到平面：\(d = \frac{|n_1x_0+n_2y_0+n_3z_0-k|}{|\boldsymbol{n}|}\)
- 核心题型，每年必考 (2023-2025)
- 常见错误：给出面积而非距离；负值处理
V5向量夹角 / \(|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}|\) 类条件
- \(|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}| \Rightarrow \cos\theta=\sin\theta \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}\)
- 注意向量夹角范围 \([0,\pi]\)，不要接受负角
- 出现年份：2022-2025
V6直线与平面交角 / 两平面夹角
求法向量
→
\(\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}\)
→
线面角 = \(90°-\theta\)
- 最高失分率题型：50% 学生忘记转换
- 出现年份：2023-2025（几乎每年）
V7叉积 → 法向量 → 平面方程
\(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\)
→
\(\boldsymbol{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\)
→
代点求 \(k\)
→
\(n_1x+n_2y+n_3z=k\)
- 核心题型，2023 年起每年考
- 最常见错误：叉积 \(\boldsymbol{j}\) 分量忘记取负号
V8平面截轴三角形面积
- 令两变量=0 求三个截距点 → 面积 = \(\frac{1}{2}|\boldsymbol{v}_1\times\boldsymbol{v}_2|\)
- 常见错误：忘记除以2（给出平行四边形面积）
- 出现年份：2024, 2025
V9向量投影 / 标量分解
- 标量分解 = \(\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\)（标量）
- 向量分解 = \(\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}\)（向量）
- 常见错误：两者混淆；投影方向搞反
- 出现年份：2024, 2025（主要在 MC）
V10位置向量 / 碰撞 / 垂直速度
碰撞：\(\boldsymbol{r}_1(t)=\boldsymbol{r}_2(t)\)
速度垂直：\(\dot{\boldsymbol{r}}_1(t)\cdot\dot{\boldsymbol{r}}_2(t)=0\)
加速度⊥速度：\(\dot{\boldsymbol{r}}(t)\cdot\ddot{\boldsymbol{r}}(t)=0\)
速度垂直：\(\dot{\boldsymbol{r}}_1(t)\cdot\dot{\boldsymbol{r}}_2(t)=0\)
加速度⊥速度：\(\dot{\boldsymbol{r}}(t)\cdot\ddot{\boldsymbol{r}}(t)=0\)
- 每年必考（2022-2025）
- 2023 E1: "仅 7% 满分"——加速度垂直速度的条件
V12向量综合大题 (10-11 分)
- 典型链条：叉积→法向量→平面方程→联立求交线/交点→距离→角度
- 前面步骤的错误会导致后续连锁扣分
- 核心建议：充分利用前面小题的结果
- 出现年份：2023-2025（Exam 2 大题）
复数题型解法 Complex Number Question Types
2022-2025 VCE 考试分类
C1多项式方程求解 Polynomial Equations
已知一根 \(z_0\)
→
共轭根 \(\bar{z}_0\)
→
二次因子 \(z^2-2\text{Re}z+|z|^2\)
→
多项式除法
→
解剩余因子
- 稳定出现于 Exam 1 和 Exam 2
- 出现年份：2022-2025
C2极坐标 / De Moivre / \(z^n = w\)
化极坐标
→
\(r=|w|^{1/n}\)
→
\(\theta=\frac{\varphi+2k\pi}{n}\)
→
\(n\) 个根均匀分布
- 频率递增，2023-2025 每年考
- 重点：象限判断、遗漏根、主辐角范围
C3Argand 图轨迹 / 射线 / 区域
圆：\(|z-z_0|=r\) → 标圆心+半径
中垂线：\(|z-z_1|=|z-z_2|\) → 展开平方化简
射线：\(\text{Arg}(z-z_0)=\alpha\) → 起点 \(z_0\)，角度 \(\alpha\)，开端点
中垂线：\(|z-z_1|=|z-z_2|\) → 展开平方化简
射线：\(\text{Arg}(z-z_0)=\alpha\) → 起点 \(z_0\)，角度 \(\alpha\)，开端点
- 每年必考 (2022-2025)
- 射线角度错误是最高失分点（2023: 仅 18% 正确）
C4复数运算与几何变换
- \(-\bar{z}\) = 虚轴反射；\(\bar{z}\) = 实轴反射；\(iz\) = 旋转90°
- 利用 \(|z|=1\) 简化表达式
- 出现年份：2023-2025（主要在 MC）
📚 公式速查表 Formula Cheat Sheet
Vectors 向量
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 点积 Dot product | \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta\) |
| 叉积 Cross product | \(|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\) |
| 向量投影 | \(\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}\) |
| 标量投影 | \(\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\) |
| 直线方程 | \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{d}\) |
| 平面方程 | \(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}=k\)，即 \(n_1x+n_2y+n_3z=k\) |
| 点到平面距离 | \(\frac{|n_1x_0+n_2y_0+n_3z_0-k|}{|\boldsymbol{n}|}\) |
| 点到直线距离 | \(\frac{|\overrightarrow{AP}\times\boldsymbol{d}|}{|\boldsymbol{d}|}\) |
| 异面线距离 | \(\frac{|(\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_1)\cdot(\boldsymbol{d}_1\times\boldsymbol{d}_2)|}{|\boldsymbol{d}_1\times\boldsymbol{d}_2|}\) |
| 线面角 | \(90°-\theta\) (\(\theta\)=\(\boldsymbol{d}\)与\(\boldsymbol{n}\)夹角) |
| 三角形面积 | \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) |
Complex Numbers 复数
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 模 Modulus | \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) |
| 共轭 Conjugate | \(\bar{z}=a-bi\)；\(z\bar{z}=|z|^2\) |
| 极坐标 | \(z=r\,\text{cis}\,\theta\) |
| 极坐标乘法 | \(z_1z_2=r_1r_2\,\text{cis}(\theta_1+\theta_2)\) |
| 极坐标除法 | \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\,\text{cis}(\theta_1-\theta_2)\) |
| De Moivre | \((r\,\text{cis}\,\theta)^n=r^n\,\text{cis}(n\theta)\) |
| 求 \(z^n=w\) 的根 | \(\theta=\frac{\varphi+2k\pi}{n}\)，\(k=0,1,\ldots,n-1\) |
| 圆轨迹 | \(|z-z_0|=r\) |
| 中垂线 | \(|z-z_1|=|z-z_2|\) |
| 射线 | \(\text{Arg}(z-z_0)=\alpha\) |
| 弓形面积 | \(\frac{1}{2}r^2(\theta-\sin\theta)\) |
Differentiation 微分
导数法则、反三角函数、隐函数微分、相关变化率
微分复习 Review of Differentiation
基本导数表
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(e^{ax}\) | \(ae^{ax}\) |
| \(\ln|ax|\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(\sin(ax)\) | \(a\cos(ax)\) |
| \(\cos(ax)\) | \(-a\sin(ax)\) |
| \(\tan(ax)\) | \(a\sec^2(ax)\) |
三大法则
\(\text{Product: } \frac{d}{dx}[uv] = u'v + uv'\)
\(\text{Quotient: } \frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
\(\text{Chain: } \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\)
反函数导数
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}}\)，前提 \(\frac{dx}{dy}\neq 0\)
If \(x=f(y)\), then \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}\)
✎ 练习题 — 微分复习
Q1 2024 Exam 1 Q3 设 \(f(x)=\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}\)。证明 \(f(x)=1-\frac{4}{x+1}+\frac{4}{(x+1)^2}\)，并求 \(f(x)\) 的驻点。
🔒 点击展开解答
展开：\(\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2-2x+1}{(x+1)^2}\)。做长除法或令 \(u=x+1\)：
\(=\frac{(u-2)^2}{u^2}=1-\frac{4}{u}+\frac{4}{u^2}=1-\frac{4}{x+1}+\frac{4}{(x+1)^2}\) ✓
\(f'(x)=\frac{4}{(x+1)^2}-\frac{8}{(x+1)^3}=\frac{4(x+1)-8}{(x+1)^3}=\frac{4x-4}{(x+1)^3}=\frac{4(x-1)}{(x+1)^3}\)
\(f'(x)=0 \Rightarrow x=1\)，驻点 \((1,0)\)
\(=\frac{(u-2)^2}{u^2}=1-\frac{4}{u}+\frac{4}{u^2}=1-\frac{4}{x+1}+\frac{4}{(x+1)^2}\) ✓
\(f'(x)=\frac{4}{(x+1)^2}-\frac{8}{(x+1)^3}=\frac{4(x+1)-8}{(x+1)^3}=\frac{4x-4}{(x+1)^3}=\frac{4(x-1)}{(x+1)^3}\)
\(f'(x)=0 \Rightarrow x=1\)，驻点 \((1,0)\)
Q2 超纲挑战 设 \(f(x)=\frac{x^2 e^x}{(x+1)^2}\)，\(x\neq -1\)。求 \(f'(x)\) 的简化形式，并找出所有使 \(f'(x)=0\) 的 \(x\) 值。
🔒 点击展开解答
令 \(u=x^2e^x\)，\(v=(x+1)^2\)。
\(u'=(2x+x^2)e^x=x(x+2)e^x\)，\(v'=2(x+1)\)
\(f'=\frac{x(x+2)e^x(x+1)^2-2(x+1)x^2e^x}{(x+1)^4}=\frac{xe^x[(x+2)(x+1)-2x]}{(x+1)^3}\)
\(=\frac{xe^x(x^2+x+2)}{(x+1)^3}\)
\(f'(x)=0\)：\(x=0\)（\(e^x\neq0\)，\(x^2+x+2\) 判别式 \(=1-8<0\)，无实根）。
唯一解：\(x=0\)
\(u'=(2x+x^2)e^x=x(x+2)e^x\)，\(v'=2(x+1)\)
\(f'=\frac{x(x+2)e^x(x+1)^2-2(x+1)x^2e^x}{(x+1)^4}=\frac{xe^x[(x+2)(x+1)-2x]}{(x+1)^3}\)
\(=\frac{xe^x(x^2+x+2)}{(x+1)^3}\)
\(f'(x)=0\)：\(x=0\)（\(e^x\neq0\)，\(x^2+x+2\) 判别式 \(=1-8<0\)，无实根）。
唯一解：\(x=0\)
反三角函数导数 Derivatives of Inverse Trig
三大公式（\(a>0\)）
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| \(\sin^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right)\) | \(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) |
| \(\cos^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right)\) | \(\frac{-1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) |
| \(\tan^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right)\) | \(\frac{a}{a^2+x^2}\) |
推导（以 \(\tan^{-1}\) 为例）
- 令 \(y=\tan^{-1}(x)\)，则 \(x=\tan y\)
- \(\frac{dx}{dy}=\sec^2 y=1+\tan^2 y=1+x^2\)
- \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}\)
⚠️ 考试常见错误
2023 E1 Q4：38% 学生在求反三角函数导数时忘记链式法则中的内层导数，例如对 \(\sin^{-1}(y^2)\) 求导时漏掉 \(2y\cdot\frac{dy}{dx}\) 这一项。
✎ 练习题 — 反三角函数导数
Q1 2024 NHT Exam 1 Q3 求 \(y=x^4-6x^2+4\) 的拐点坐标，并指出 \(y\) 凹向上的区间。
🔒 点击展开解答
\(y'=4x^3-12x\)，\(y''=12x^2-12=12(x^2-1)\)
\(y''=0 \Rightarrow x=\pm1\)。符号变化检验：\(y''(-2)=36>0\)，\(y''(0)=-12<0\)，\(y''(2)=36>0\)。
拐点：\((-1,-1)\) 和 \((1,-1)\)
凹向上：\(x<-1\) 或 \(x>1\)
\(y''=0 \Rightarrow x=\pm1\)。符号变化检验：\(y''(-2)=36>0\)，\(y''(0)=-12<0\)，\(y''(2)=36>0\)。
拐点：\((-1,-1)\) 和 \((1,-1)\)
凹向上：\(x<-1\) 或 \(x>1\)
Q2 超纲挑战 设 \(f(x)=x\tan^{-1}(x)-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\)。
(a) 求 \(f'(x)\)。
(b) 求 \(f''(x)\) 并证明 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上处处凹向上。
(a) 求 \(f'(x)\)。
(b) 求 \(f''(x)\) 并证明 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上处处凹向上。
🔒 点击展开解答
(a) \(f'(x)=\tan^{-1}(x)+\frac{x}{1+x^2}-\frac{x}{1+x^2}=\tan^{-1}(x)\)
(b) \(f''(x)=\frac{1}{1+x^2}>0\) 对所有 \(x\in\mathbb{R}\)。故 \(f\) 处处凹向上。■
(b) \(f''(x)=\frac{1}{1+x^2}>0\) 对所有 \(x\in\mathbb{R}\)。故 \(f\) 处处凹向上。■
二阶导与拐点 Second Derivatives & Inflection
凹凸性与二阶导判别法
- 凹向上 Concave up：\(f''(x)>0\)，切线在曲线下方
- 凹向下 Concave down：\(f''(x)<0\)，切线在曲线上方
- 拐点 Point of Inflection：凹凸性改变处，\(f''(x)\) 符号必须变化
\(f'(a)=0,\;f''(a)>0 \Rightarrow\) 极小值 \(f'(a)=0,\;f''(a)<0 \Rightarrow\) 极大值
⚠️ 经典陷阱
\(f''(a)=0\) 不保证是拐点！反例：\(f(x)=x^4\)，\(f''(0)=0\) 但 \((0,0)\) 是极小值。2025 Exam 2 MC Q2：考察了此陷阱，\(f(x)=x^4-x\) 在 \(x=0\) 处 \(f''(0)=0\) 但非拐点。
✎ 练习题 — 二阶导与拐点
Q1 2025 Exam 2 MC Q2 下列哪个函数在 \(x=0\) 处 \(f''(0)=0\) 但 \(x=0\) 不是拐点？
A. \(f(x)=x^3\) B. \(f(x)=\sin x\) C. \(f(x)=x^5\) D. \(f(x)=x^4-x\)
A. \(f(x)=x^3\) B. \(f(x)=\sin x\) C. \(f(x)=x^5\) D. \(f(x)=x^4-x\)
🔒 点击展开解答
D。\(f(x)=x^4-x\)，\(f''(x)=12x^2\)，\(f''(0)=0\)。
但 \(f''(x)=12x^2\geq0\) 对所有 \(x\)，符号不变化，故 \(x=0\) 不是拐点。
其他选项：A/C 的 \(f''(x)\) 在 \(x=0\) 变号（是拐点），B 在 \(x=0\) 处 \(f''(0)=-\sin0=0\) 且变号。
但 \(f''(x)=12x^2\geq0\) 对所有 \(x\)，符号不变化，故 \(x=0\) 不是拐点。
其他选项：A/C 的 \(f''(x)\) 在 \(x=0\) 变号（是拐点），B 在 \(x=0\) 处 \(f''(0)=-\sin0=0\) 且变号。
Q2 超纲挑战 设 \(f(x)=xe^{-x^2}\)。求所有拐点的 \(x\) 坐标，并判断 \(f\) 的凹凸性。
🔒 点击展开解答
\(f'(x)=e^{-x^2}(1-2x^2)\)，\(f''(x)=e^{-x^2}(-2x)(1-2x^2)+e^{-x^2}(-4x)=e^{-x^2}(-6x+4x^3)\)
\(=2xe^{-x^2}(2x^2-3)\)
\(f''(x)=0\)：\(x=0\) 或 \(x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\)
三个拐点。凹向上区间：\(x\in(-\sqrt{3/2},0)\cup(\sqrt{3/2},+\infty)\)
\(=2xe^{-x^2}(2x^2-3)\)
\(f''(x)=0\)：\(x=0\) 或 \(x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\)
三个拐点。凹向上区间：\(x\in(-\sqrt{3/2},0)\cup(\sqrt{3/2},+\infty)\)
隐函数微分 Implicit Differentiation
核心思想
当曲线方程无法分离为 \(y=f(x)\) 形式时（如 \(x^2+y^2=1\)），对等式两边关于 \(x\) 求导，遇到 \(y\) 的项时必须用链式法则乘上 \(\frac{dy}{dx}\)。
完整求导法则速查
| 含 \(y\) 的表达式 | 关于 \(x\) 求导 | 要点 |
|---|---|---|
| \(y^n\) | \(ny^{n-1}\cdot\frac{dy}{dx}\) | 链式法则 |
| \(xy\) | \(y+x\frac{dy}{dx}\) | 乘法法则 + 链式 |
| \(x^2 y^2\) | \(2xy^2+2x^2y\frac{dy}{dx}\) | 乘法法则 |
| \(e^y\) | \(e^y\cdot\frac{dy}{dx}\) | 链式法则 |
| \(e^{xy}\) | \(e^{xy}\!\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)\) | 链式 + 乘法 |
| \(\sin y\)，\(\cos y\) | \(\cos y\cdot\frac{dy}{dx}\)，\(-\sin y\cdot\frac{dy}{dx}\) | 链式法则 |
| \(\ln y\) | \(\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}\) | 链式法则 |
| \(\sin^{-1}(y^2)\) | \(\frac{2y}{\sqrt{1-y^4}}\cdot\frac{dy}{dx}\) | 反三角 + 链式 |
| \(y^2 e^x\) | \(2ye^x\frac{dy}{dx}+y^2e^x\) | 乘法法则 |
标准解题步骤（5 步法）
- 对方程两边关于 \(x\) 求导：逐项处理，含 \(y\) 的项必用链式法则
- 展开所有项：乘法法则和链式法则展开后，标记出含 \(\frac{dy}{dx}\) 的项
- 移项：把含 \(\frac{dy}{dx}\) 的项全部移到左边，其余移到右边
- 提取公因子 \(\frac{dy}{dx}\)：左边提取后除过去得到通式
- 代入坐标：把给定点 \((x_0,y_0)\) 代入求数值
完整工作示例：\(xe^{-2y}+y^2e^x=8e^4\) 在 \((4,-2)\)
Step 1 逐项对 \(x\) 求导：
- 第一项 \(xe^{-2y}\)：乘法法则 → \(e^{-2y}+x\cdot e^{-2y}\cdot(-2)\frac{dy}{dx}=e^{-2y}-2xe^{-2y}\frac{dy}{dx}\)
- 第二项 \(y^2e^x\)：乘法法则 → \(2ye^x\frac{dy}{dx}+y^2e^x\)
- 右边 \(8e^4\)：常数 → \(0\)
Step 2 合并：\(e^{-2y}-2xe^{-2y}\frac{dy}{dx}+2ye^x\frac{dy}{dx}+y^2e^x=0\)
Step 3 移项：\(\frac{dy}{dx}(-2xe^{-2y}+2ye^x)=-e^{-2y}-y^2e^x\)
Step 4 解出：\(\frac{dy}{dx}=\frac{-e^{-2y}-y^2e^x}{-2xe^{-2y}+2ye^x}\)
Step 5 代入 \((4,-2)\)：分子 \(=-e^4-4e^4=-5e^4\)，分母 \(=-8e^4-4e^4=-12e^4\)，\(\frac{dy}{dx}=\frac{5}{12}\)
⚠️ 考试高频错误（考官报告总结）
- 忘记链式法则：对 \(y^2\) 求导写成 \(2y\) 而非 \(2y\frac{dy}{dx}\)（最常见！）
- 乘法法则遗漏：对 \(xy\) 只写 \(\frac{dy}{dx}\) 漏掉了 \(y\)
- 反三角 + 隐函数：对 \(\sin^{-1}(y^2)\) 要先求反三角导数，再乘 \(2y\frac{dy}{dx}\)（三层链式）
- 代入错误：先化简通式再代点，不要急着代入
✎ 练习题 — 隐函数微分
Q1 2025 Exam 1 Q1 曲线 \(xe^{-2y}+y^2e^x=8e^4\)。求在点 \((4,-2)\) 处的切线方程。
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两边对 \(x\) 求导：
\(e^{-2y}+x(-2e^{-2y})\frac{dy}{dx}+2ye^x\frac{dy}{dx}+y^2e^x=0\)
\(\frac{dy}{dx}(-2xe^{-2y}+2ye^x)=-e^{-2y}-y^2e^x\)
代入 \((4,-2)\)：\(\frac{dy}{dx}=\frac{-e^4-4e^4}{-8e^4-4e^4}=\frac{-5e^4}{-12e^4}=\frac{5}{12}\)
切线：\(y+2=\frac{5}{12}(x-4)\)，即 \(y=\frac{5}{12}x-\frac{11}{3}\)
\(e^{-2y}+x(-2e^{-2y})\frac{dy}{dx}+2ye^x\frac{dy}{dx}+y^2e^x=0\)
\(\frac{dy}{dx}(-2xe^{-2y}+2ye^x)=-e^{-2y}-y^2e^x\)
代入 \((4,-2)\)：\(\frac{dy}{dx}=\frac{-e^4-4e^4}{-8e^4-4e^4}=\frac{-5e^4}{-12e^4}=\frac{5}{12}\)
切线：\(y+2=\frac{5}{12}(x-4)\)，即 \(y=\frac{5}{12}x-\frac{11}{3}\)
Q2 2024 Exam 1 Q8 关系式 \(x^2y^2+xy=2\)。
(a) 用隐函数微分证明 \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)（已知 \(2xy\neq-1\)）。
(b) 求切线斜率为 \(-1\) 的所有点。
(a) 用隐函数微分证明 \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)（已知 \(2xy\neq-1\)）。
(b) 求切线斜率为 \(-1\) 的所有点。
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(a) \(2xy^2+2x^2y\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0\)
\(\frac{dy}{dx}(2x^2y+x)=-(2xy^2+y)\)
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{y(2xy+1)}{x(2xy+1)}=-\frac{y}{x}\) ✓
(b) \(\frac{dy}{dx}=-1 \Rightarrow y=x\)。代入：\(x^4+x^2=2 \Rightarrow (x^2-1)(x^2+2)=0\)
\(x=\pm1\)。点：\((1,1)\) 和 \((-1,-1)\)
\(\frac{dy}{dx}(2x^2y+x)=-(2xy^2+y)\)
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{y(2xy+1)}{x(2xy+1)}=-\frac{y}{x}\) ✓
(b) \(\frac{dy}{dx}=-1 \Rightarrow y=x\)。代入：\(x^4+x^2=2 \Rightarrow (x^2-1)(x^2+2)=0\)
\(x=\pm1\)。点：\((1,1)\) 和 \((-1,-1)\)
Q3 超纲挑战 曲线 \(x^3+y^3=6xy\)（笛卡尔叶形线）。
(a) 求 \(\frac{dy}{dx}\)。
(b) 求除原点外的水平切线的点坐标。
(a) 求 \(\frac{dy}{dx}\)。
(b) 求除原点外的水平切线的点坐标。
🔒 点击展开解答
(a) \(3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=6y+6x\frac{dy}{dx}\)
\(\frac{dy}{dx}(3y^2-6x)=6y-3x^2\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{6y-3x^2}{3y^2-6x}=\frac{2y-x^2}{y^2-2x}\)
(b) 水平切线：\(2y-x^2=0 \Rightarrow y=\frac{x^2}{2}\)。代入曲线：
\(x^3+\frac{x^6}{8}=6x\cdot\frac{x^2}{2} \Rightarrow x^3+\frac{x^6}{8}=3x^3\)
\(\frac{x^6}{8}=2x^3 \Rightarrow x^6=16x^3 \Rightarrow x^3(x^3-16)=0\)
\(x=0\) 或 \(x=2\sqrt[3]{2}\)。排除原点：\(x=2\sqrt[3]{2}\)，\(y=2\sqrt[3]{4}\)
点：\((2\sqrt[3]{2},\,2\sqrt[3]{4})\)
\(\frac{dy}{dx}(3y^2-6x)=6y-3x^2\)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{6y-3x^2}{3y^2-6x}=\frac{2y-x^2}{y^2-2x}\)
(b) 水平切线：\(2y-x^2=0 \Rightarrow y=\frac{x^2}{2}\)。代入曲线：
\(x^3+\frac{x^6}{8}=6x\cdot\frac{x^2}{2} \Rightarrow x^3+\frac{x^6}{8}=3x^3\)
\(\frac{x^6}{8}=2x^3 \Rightarrow x^6=16x^3 \Rightarrow x^3(x^3-16)=0\)
\(x=0\) 或 \(x=2\sqrt[3]{2}\)。排除原点：\(x=2\sqrt[3]{2}\)，\(y=2\sqrt[3]{4}\)
点：\((2\sqrt[3]{2},\,2\sqrt[3]{4})\)
✎ 练习题 — 相关变化率
Q1 2025 NHT Exam 2 MC Q7 水以 5 cm\(^3\)/s 的速率注入倒锥形容器（高 20 cm，底半径 10 cm），同时以 \(k\sqrt{h}\) 的速率泄漏。求水深上升速率。
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锥形：\(\frac{r}{h}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)，\(r=\frac{h}{2}\)
\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{\pi h^3}{12}\)，\(\frac{dV}{dh}=\frac{\pi h^2}{4}\)
\(\frac{dV}{dt}=5-k\sqrt{h}\)，\(\frac{dh}{dt}=\frac{dV/dt}{dV/dh}=\frac{4(5-k\sqrt{h})}{\pi h^2}\)
\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{\pi h^3}{12}\)，\(\frac{dV}{dh}=\frac{\pi h^2}{4}\)
\(\frac{dV}{dt}=5-k\sqrt{h}\)，\(\frac{dh}{dt}=\frac{dV/dt}{dV/dh}=\frac{4(5-k\sqrt{h})}{\pi h^2}\)
Q2 超纲挑战 参数曲线 \(x=\frac{4t}{t^2+1}\)，\(y=\frac{2(1-t^2)}{t^2+1}\)。
(a) 证明 \(x^2+y^2=4\)。
(b) 求 \(t=1\) 时 \(\frac{dy}{dx}\)。
(c) 当 \(t\to\infty\) 时曲线趋向哪个点？
(a) 证明 \(x^2+y^2=4\)。
(b) 求 \(t=1\) 时 \(\frac{dy}{dx}\)。
(c) 当 \(t\to\infty\) 时曲线趋向哪个点？
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(a) \(x^2+y^2=\frac{16t^2}{(t^2+1)^2}+\frac{4(1-t^2)^2}{(t^2+1)^2}=\frac{16t^2+4-8t^2+4t^4}{(t^2+1)^2}=\frac{4t^4+8t^2+4}{(t^2+1)^2}=\frac{4(t^2+1)^2}{(t^2+1)^2}=4\) ■
(b) \(\frac{dx}{dt}=\frac{4(1-t^2)}{(t^2+1)^2}\)，\(\frac{dy}{dt}=\frac{-4t(t^2+1)-2(1-t^2)\cdot2t}{(t^2+1)^2}=\frac{-8t}{(t^2+1)^2}\)
（简化：\(\frac{dy}{dt}=\frac{-4t}{...}\)... 仔细计算）
\(t=1\)：\(\frac{dx}{dt}=0\)，分母为零 → 垂直切线。
(c) \(t\to\infty\)：\(x\to0\)，\(y\to-2\)。趋向 \((0,-2)\)。
(b) \(\frac{dx}{dt}=\frac{4(1-t^2)}{(t^2+1)^2}\)，\(\frac{dy}{dt}=\frac{-4t(t^2+1)-2(1-t^2)\cdot2t}{(t^2+1)^2}=\frac{-8t}{(t^2+1)^2}\)
（简化：\(\frac{dy}{dt}=\frac{-4t}{...}\)... 仔细计算）
\(t=1\)：\(\frac{dx}{dt}=0\)，分母为零 → 垂直切线。
(c) \(t\to\infty\)：\(x\to0\)，\(y\to-2\)。趋向 \((0,-2)\)。
Integration 积分
基本积分、换元法、三角恒等式、部分分式、分部积分
积分复习 Antidifferentiation Review
基本不定积分表
| \(f(x)\) | \(\int f(x)\,dx\) |
|---|---|
| \(x^n\;(n\neq-1)\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\) |
| \(\frac{1}{ax+b}\) | \(\frac{1}{a}\ln|ax+b|+c\) |
| \(e^{ax+b}\) | \(\frac{1}{a}e^{ax+b}+c\) |
| \(\sin(ax+b)\) | \(-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+c\) |
| \(\cos(ax+b)\) | \(\frac{1}{a}\sin(ax+b)+c\) |
| \(\sec^2(ax)\) | \(\frac{1}{a}\tan(ax)+c\) |
反三角函数积分（\(a>0\)）
\(\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\sin^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
\(\int\frac{a}{a^2+x^2}\,dx=\tan^{-1}\!\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
定积分性质（MC 必考！）
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 反向 | \(\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\) |
| 区间拆分 | \(\int_a^b f\,dx+\int_b^c f\,dx=\int_a^c f\,dx\) |
| 线性 | \(\int_a^b[kf+lg]\,dx=k\int_a^b f\,dx+l\int_a^b g\,dx\) |
| 偶函数 | 若 \(f(-x)=f(x)\)：\(\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx\) |
| 奇函数 | 若 \(f(-x)=-f(x)\)：\(\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0\) |
| 比较 | 若 \(f(x)\geq g(x)\) 在 \([a,b]\)，则 \(\int_a^b f\,dx\geq\int_a^b g\,dx\) |
💡 巧用奇偶性简化计算
对称区间 \([-a,a]\) 上的积分：先判断被积函数的奇偶性。
- \(x^3\sin x\)：奇 × 奇 = 偶 → 乘以 2
- \(x^2\cos x\)：偶 × 偶 = 偶 → 乘以 2
- \(x\cos x\)：奇 × 偶 = 奇 → 直接为 0
- \(e^{x^2}\)：\(e^{(-x)^2}=e^{x^2}\) → 偶
函数平均值 Average Value
\(\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\)
考试中常以"在 \([a,b]\) 上的平均温度/速度/浓度"出题。
✎ 练习题 — 积分复习
Q1 2022 Exam 1 Q4 求 \(\displaystyle\int\frac{3x^2+4x+12}{x(x^2+4)}\,dx\)。
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部分分式：\(\frac{3x^2+4x+12}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}\)
\(3x^2+4x+12=A(x^2+4)+(Bx+C)x\)
\(x=0: 12=4A \Rightarrow A=3\)。比较 \(x^2\)：\(3=A+B \Rightarrow B=0\)。比较 \(x\)：\(4=C\)。
\(\int\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2+4}\,dx=3\ln|x|+2\tan^{-1}\!\left(\frac{x}{2}\right)+c\)
\(3x^2+4x+12=A(x^2+4)+(Bx+C)x\)
\(x=0: 12=4A \Rightarrow A=3\)。比较 \(x^2\)：\(3=A+B \Rightarrow B=0\)。比较 \(x\)：\(4=C\)。
\(\int\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2+4}\,dx=3\ln|x|+2\tan^{-1}\!\left(\frac{x}{2}\right)+c\)
Q2 超纲挑战 求 \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{5-4x-x^2}}\)。
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配方：\(5-4x-x^2=-(x^2+4x-5)=-[(x+2)^2-9]=9-(x+2)^2\)
令 \(u=x+2\)：\(\int\frac{du}{\sqrt{9-u^2}}=\sin^{-1}\!\left(\frac{u}{3}\right)+c=\sin^{-1}\!\left(\frac{x+2}{3}\right)+c\)
令 \(u=x+2\)：\(\int\frac{du}{\sqrt{9-u^2}}=\sin^{-1}\!\left(\frac{u}{3}\right)+c=\sin^{-1}\!\left(\frac{x+2}{3}\right)+c\)
换元积分法 Integration by Substitution
核心公式
\(\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\)，令 \(u=g(x)\)
本质：被积函数中必须同时出现"内函数"和"内函数的导数"（或差一个常数倍）。
五大模式识别
| 模式 | 公式 | 识别特征 |
|---|---|---|
| 幂函数型 | \(\int g'(x)[g(x)]^n\,dx = \frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1}+c\) | 复合函数的幂 × 内层导数 |
| 对数型 | \(\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\ln|g(x)|+c\) | 分子恰好是分母的导数 |
| 指数型 | \(\int g'(x)e^{g(x)}\,dx=e^{g(x)}+c\) | \(e\) 的指数 × 指数导数 |
| 反三角型 | \(\int\frac{g'(x)}{\sqrt{a^2-[g(x)]^2}}\,dx=\sin^{-1}\!\left(\frac{g(x)}{a}\right)+c\) | 根号下 \(a^2\) 减某东西的平方 |
| 反三角型 | \(\int\frac{ag'(x)}{a^2+[g(x)]^2}\,dx=\tan^{-1}\!\left(\frac{g(x)}{a}\right)+c\) | 分母 \(a^2\) 加某东西的平方 |
定积分换元 — 必须同时换上下限！
\(\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du\)
⚠️ 严禁做法
换元后再换回原变量！一旦改了上下限，就在新变量下完成计算。
四种换元策略
| 策略 | 适用情况 | 操作 |
|---|---|---|
| 直接换元 | 被积函数含 \(f(g(x))g'(x)\) | 令 \(u=g(x)\) |
| 配方 + 换元 | \(\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}\) 型 | 先配方为 \((x+p)^2\pm q^2\)，令 \(u=x+p\) |
| 线性换元 | \(\int f(x)\sqrt{ax+b}\,dx\) | 令 \(u=ax+b\)（或 \(u^2=ax+b\)），用 \(x=\frac{u-b}{a}\) 回代 |
| 三角换元 | \(\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}\) 等高次 | 令 \(x=\tan\theta\) 等（考试给出换元） |
💡 配方法详解
\(\int\frac{1}{x^2+2x+6}\,dx\)：
- 配方：\(x^2+2x+6=(x+1)^2+5\)
- 令 \(u=x+1\)：\(\int\frac{du}{u^2+5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\tan^{-1}\!\left(\frac{u}{\sqrt{5}}\right)+c=\frac{1}{\sqrt{5}}\tan^{-1}\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{5}}\right)+c\)
考试信号：看到 \(\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}\) 形式，且分母判别式 \(\Delta<0\) → 配方后用 \(\tan^{-1}\)；若 \(\Delta>0\) → 因式分解后用部分分式。
✎ 练习题 — 换元积分
Q1 2025 Exam 2 MC Q7 利用 \(u=\cos\theta\)，将 \(\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2\theta)}{1+\cos\theta}\,d\theta\) 化为关于 \(u\) 的积分并求值。
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\(\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\)，\(du=-\sin\theta\,d\theta\)
当 \(\theta=0: u=1\)；\(\theta=\frac{\pi}{2}: u=0\)。
\(=\frac{1}{2}\int_1^0\frac{2u}{1+u}\cdot\frac{-du}{1}=\int_0^1\frac{u}{1+u}\,du\)
\(=\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+u}\right)du=[u-\ln|1+u|]_0^1=1-\ln2\)
当 \(\theta=0: u=1\)；\(\theta=\frac{\pi}{2}: u=0\)。
\(=\frac{1}{2}\int_1^0\frac{2u}{1+u}\cdot\frac{-du}{1}=\int_0^1\frac{u}{1+u}\,du\)
\(=\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+u}\right)du=[u-\ln|1+u|]_0^1=1-\ln2\)
Q2 超纲挑战 利用换元 \(u^2=x+1\)，求 \(\displaystyle\int_3^8\frac{1}{x\sqrt{x+1}}\,dx\)。
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\(u^2=x+1 \Rightarrow x=u^2-1\)，\(dx=2u\,du\)，\(\sqrt{x+1}=u\)
\(x=3: u=2\)；\(x=8: u=3\)
\(\int_2^3\frac{2u}{(u^2-1)u}\,du=\int_2^3\frac{2}{u^2-1}\,du=\int_2^3\frac{2}{(u-1)(u+1)}\,du\)
部分分式：\(\frac{2}{(u-1)(u+1)}=\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\)
\(=[\ln|u-1|-\ln|u+1|]_2^3=\left[\ln\frac{|u-1|}{|u+1|}\right]_2^3=\ln\frac{2}{4}-\ln\frac{1}{3}=\ln\frac{1}{2}+\ln3=\ln\frac{3}{2}\)
\(x=3: u=2\)；\(x=8: u=3\)
\(\int_2^3\frac{2u}{(u^2-1)u}\,du=\int_2^3\frac{2}{u^2-1}\,du=\int_2^3\frac{2}{(u-1)(u+1)}\,du\)
部分分式：\(\frac{2}{(u-1)(u+1)}=\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\)
\(=[\ln|u-1|-\ln|u+1|]_2^3=\left[\ln\frac{|u-1|}{|u+1|}\right]_2^3=\ln\frac{2}{4}-\ln\frac{1}{3}=\ln\frac{1}{2}+\ln3=\ln\frac{3}{2}\)
三角恒等式积分 Trig Integration
\(\int\sin^m x\cos^n x\,dx\) 策略
| 情况 | 策略 |
|---|---|
| \(m\) 为奇数 | 提出一个 \(\sin x\)，其余用 \(\sin^2x=1-\cos^2x\)，令 \(u=\cos x\) |
| \(n\) 为奇数 | 提出一个 \(\cos x\)，其余用 \(\cos^2x=1-\sin^2x\)，令 \(u=\sin x\) |
| 都是偶数 | 用半角公式 \(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\)，\(\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\) |
常用结果
\(\int\cos^2x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+c\)，\(\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+c\)，\(\int\tan^2x\,dx=\tan x-x+c\)
积化和差公式 Product-to-Sum
当被积函数为 \(\sin(mx)\cos(nx)\) 等不同频率的乘积时，不能用 \(u\)-换元或半角公式，必须用积化和差：
| 乘积形式 | 等价和差 |
|---|---|
| \(2\cos A\cos B\) | \(\cos(A-B)+\cos(A+B)\) |
| \(2\sin A\sin B\) | \(\cos(A-B)-\cos(A+B)\) |
| \(2\sin A\cos B\) | \(\sin(A+B)+\sin(A-B)\) |
工作示例：\(\int\sin(3x)\cos(5x)\,dx\)
\(\sin(3x)\cos(5x)=\frac{1}{2}[\sin(3x+5x)+\sin(3x-5x)]=\frac{1}{2}[\sin8x-\sin2x]\)
\(\int\sin(3x)\cos(5x)\,dx=\frac{1}{2}\left[-\frac{\cos8x}{8}+\frac{\cos2x}{2}\right]+c=-\frac{\cos8x}{16}+\frac{\cos2x}{4}+c\)
⚠ 何时用积化和差 vs 半角 vs 换元
- \(\sin^m x\cos^n x\)（同频率 \(x\)）→ 用奇偶数策略或半角公式
- \(\sin(mx)\cos(nx)\) 且 \(m\ne n\) → 必须积化和差
- \(\sin^2(3x)\)、\(\cos^2(2x)\) → 半角：\(\frac{1\pm\cos(2\cdot\text{角})}{2}\)
✎ 练习题 — 三角积分
Q1 超纲挑战 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^3x\cos^2x\,dx\)。
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\(\sin\) 幂次为奇数，令 \(u=\cos x\)，\(du=-\sin x\,dx\)：
\(=\int_0^{\pi/2}(1-\cos^2x)\cos^2x\sin x\,dx=-\int_1^0(1-u^2)u^2\,du\)
\(=\int_0^1(u^2-u^4)\,du=\left[\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}\right]_0^1=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}\)
\(=\int_0^{\pi/2}(1-\cos^2x)\cos^2x\sin x\,dx=-\int_1^0(1-u^2)u^2\,du\)
\(=\int_0^1(u^2-u^4)\,du=\left[\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}\right]_0^1=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}\)
Q2 超纲挑战 求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sin^2x\cos^2x\,dx\)。
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两个偶数幂：\(\sin^2x\cos^2x=\frac{1}{4}\sin^2(2x)=\frac{1}{8}(1-\cos4x)\)
\(=\frac{1}{8}\int_0^{\pi/4}(1-\cos4x)\,dx=\frac{1}{8}\left[x-\frac{\sin4x}{4}\right]_0^{\pi/4}=\frac{1}{8}\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi}{32}\)
\(=\frac{1}{8}\int_0^{\pi/4}(1-\cos4x)\,dx=\frac{1}{8}\left[x-\frac{\sin4x}{4}\right]_0^{\pi/4}=\frac{1}{8}\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi}{32}\)
部分分式 Partial Fractions
三种类型
| 分母类型 | 分解形式 | 积分结果 |
|---|---|---|
| 不同线性因子 \((ax+b)(cx+d)\) | \(\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{cx+d}\) | \(\frac{A}{a}\ln|ax+b|+\frac{B}{c}\ln|cx+d|\) |
| 重复线性因子 \((ax+b)^2\) | \(\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{(ax+b)^2}\) | \(\frac{A}{a}\ln|ax+b|-\frac{B}{a(ax+b)}\) |
| 不可约二次 \((ax+b)(x^2+c)\) | \(\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{x^2+c}\) | \(\ln\) + 可能的 \(\tan^{-1}\) |
求系数的两种技巧
- 代入特殊值（覆盖法）：令分母因子 \(=0\)，一次消去一个未知数。如 \(\frac{1}{(x-1)(x+2)}\)：代 \(x=1\) 得 \(A\)，代 \(x=-2\) 得 \(B\)
- 比较系数法：展开后比较 \(x^n\) 项系数。适用于含不可约二次的情况
Type 1 工作示例：不同线性因子
\(\frac{5x+1}{(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}\)
- 覆盖法：\(x=-1\)：\(\frac{-4}{-4}=A=1\)；\(x=3\)：\(\frac{16}{4}=B=4\)
- \(\int\frac{5x+1}{(x+1)(x-3)}\,dx=\ln|x+1|+4\ln|x-3|+c\)
Type 3 工作示例：不可约二次
\(\frac{3x^2+4x+12}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}\)
- 两边乘 \(x(x^2+4)\)：\(3x^2+4x+12=A(x^2+4)+(Bx+C)x\)
- \(x=0\)：\(12=4A \Rightarrow A=3\)
- 比较 \(x^2\)：\(3=A+B \Rightarrow B=0\)；比较 \(x\)：\(4=C\)
- \(\int\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2+4}\,dx=3\ln|x|+2\tan^{-1}\!\left(\frac{x}{2}\right)+c\)
注意 \(\frac{4}{x^2+4}\) 的积分：\(\int\frac{a}{x^2+a^2}dx=\tan^{-1}(x/a)\)，所以 \(\frac{4}{x^2+4}=\frac{2\cdot2}{x^2+2^2}\) → 系数 \(=2\)
⚠️ 假分式 — 先做长除法！
若分子次数 \(\geq\) 分母次数，必须先做多项式长除法再分解。
例：\(\frac{x^3+2}{x^2-1}\)。长除：\(=x+\frac{x+2}{x^2-1}\)。然后对 \(\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}\) 做部分分式。
💡 如何判断分母能否因式分解？
- 看二次式判别式 \(\Delta=b^2-4ac\)
- \(\Delta>0\)：可分解为两个线性因子 → 部分分式
- \(\Delta=0\)：完全平方 \((x+p)^2\) → 重复线性因子型
- \(\Delta<0\)：不可约，不能分解 → 配方后用 \(\tan^{-1}\)
✎ 练习题 — 部分分式
Q1 2025 Exam 1 Q4a 利用部分分式证明 \(E(T)=\frac{1}{2}\)，其中 \(f(t)=\frac{3}{2\ln2}\cdot\frac{1}{(t+1)(2-t)}\)，\(0
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\(\frac{1}{(t+1)(2-t)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{2-t}\)
\(t=-1: 1=3A \Rightarrow A=\frac{1}{3}\)；\(t=2: 1=3B \Rightarrow B=\frac{1}{3}\)
\(E(T)=\frac{3}{2\ln2}\int_0^1\frac{t}{3}\left(\frac{1}{t+1}+\frac{1}{2-t}\right)dt\)
\(=\frac{1}{2\ln2}\int_0^1\left(\frac{t}{t+1}+\frac{t}{2-t}\right)dt\)
\(=\frac{1}{2\ln2}\int_0^1\left(1-\frac{1}{t+1}-1+\frac{2}{2-t}\right)dt\)
\(=\frac{1}{2\ln2}[-\ln|t+1|-2\ln|2-t|+... ]_0^1=\frac{1}{2}\)
\(t=-1: 1=3A \Rightarrow A=\frac{1}{3}\)；\(t=2: 1=3B \Rightarrow B=\frac{1}{3}\)
\(E(T)=\frac{3}{2\ln2}\int_0^1\frac{t}{3}\left(\frac{1}{t+1}+\frac{1}{2-t}\right)dt\)
\(=\frac{1}{2\ln2}\int_0^1\left(\frac{t}{t+1}+\frac{t}{2-t}\right)dt\)
\(=\frac{1}{2\ln2}\int_0^1\left(1-\frac{1}{t+1}-1+\frac{2}{2-t}\right)dt\)
\(=\frac{1}{2\ln2}[-\ln|t+1|-2\ln|2-t|+... ]_0^1=\frac{1}{2}\)
Q2 超纲挑战 求 \(\displaystyle\int\frac{x^3+2}{x^2-1}\,dx\)。
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假分式，先长除：\(\frac{x^3+2}{x^2-1}=x+\frac{x+2}{x^2-1}=x+\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}\)
\(\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}\)
\(x=1: 3=2A \Rightarrow A=\frac{3}{2}\)；\(x=-1: 1=-2B \Rightarrow B=-\frac{1}{2}\)
\(\int\left(x+\frac{3/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+c\)
\(\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}\)
\(x=1: 3=2A \Rightarrow A=\frac{3}{2}\)；\(x=-1: 1=-2B \Rightarrow B=-\frac{1}{2}\)
\(\int\left(x+\frac{3/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+c\)
分部积分 Integration by Parts
核心公式
\(\int u\,dv = uv - \int v\,du\)
定积分形式：\(\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du\)
目标：把难积的积分变成容易积的积分。选 \(u\) 时要让 \(du\) 变简单，选 \(dv\) 时要能积出 \(v\)。
LIATE 法则 — 如何选 \(u\)？
按以下优先级选择 \(u\)（最先出现的作 \(u\)，剩下的作 \(dv\)）：
| 优先级 | 类型 | 缩写 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 1 (最先选) | Log 对数 | L | \(\ln x\)，\(\log_e(x+1)\) |
| 2 | Inverse trig 反三角 | I | \(\sin^{-1}x\)，\(\tan^{-1}x\) |
| 3 | Algebraic 代数 | A | \(x\)，\(x^2\)，\(x^3\) |
| 4 | Trig 三角 | T | \(\sin x\)，\(\cos x\) |
| 5 (最后选) | Exponential 指数 | E | \(e^x\)，\(2^x\) |
记忆口诀：LIATE（"里亚特"），对数 → 反三角 → 代数 → 三角 → 指数
三种考试必考类型
Type 1：多项式 × 指数/三角
\(\int x^2 e^x\,dx\)：LIATE → \(u=x^2\)（A），\(dv=e^x dx\)（E）
- 第一次 IBP：\(=x^2e^x-2\int xe^x\,dx\)
- 第二次 IBP：\(=x^2e^x-2(xe^x-e^x)+c=e^x(x^2-2x+2)+c\)
Type 2：对数/反三角 × 1
\(\int\ln x\,dx\)：令 \(u=\ln x\)，\(dv=dx\)（即乘以 1）
- \(=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\ln x-x+c\)
- 同理：\(\int\sin^{-1}x\,dx\) 令 \(u=\sin^{-1}x\)，\(dv=dx\)
Type 3：解方程式法（\(e^x\sin x\) 或 \(e^x\cos x\)）
两次 IBP 后原积分再次出现，设 \(I=\int e^x\sin x\,dx\)：
- 第一次：\(I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx\)
- 第二次：\(\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x+I\)
- 代回：\(I=e^x\sin x-e^x\cos x-I \Rightarrow 2I=e^x(\sin x-\cos x)\)
- \(I=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+c\)
典型积分速查
| 积分 | 结果 | 选择 |
|---|---|---|
| \(\int xe^x\,dx\) | \(e^x(x-1)+c\) | \(u=x\) |
| \(\int x\cos x\,dx\) | \(x\sin x+\cos x+c\) | \(u=x\) |
| \(\int x^2\ln x\,dx\) | \(\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+c\) | \(u=\ln x\) |
| \(\int\ln x\,dx\) | \(x\ln x-x+c\) | \(u=\ln x,\;dv=dx\) |
| \(\int\sin^{-1}x\,dx\) | \(x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+c\) | \(u=\sin^{-1}x,\;dv=dx\) |
| \(\int e^x\cos x\,dx\) | \(\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+c\) | 解方程式法 |
| \(\int e^x\sin x\,dx\) | \(\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+c\) | 解方程式法 |
递推公式 Reduction Formula
考试常给出 \(I_n=\int_a^b f_n(x)\,dx\)，要求用 IBP 建立 \(I_n\) 与 \(I_{n-1}\) 的关系。
\(I_n=\int x^n e^x\,dx = x^n e^x - nI_{n-1}\)
解法：令 \(u=x^n\)（求导变简单），\(dv=e^x dx\)（积分不变），一次 IBP 后自然得到 \(I_{n-1}\)。
考试示例（2024 NHT MC Q11）：\(I_n=\int_1^e x^2(\ln x)^n dx\)，求递推关系。答案：\(I_n=\frac{e^3}{3}-\frac{n}{3}I_{n-1}\)
⚠️ IBP 常见陷阱
- 定积分 IBP 忘记代入上下限：\([uv]_a^b\) 项不能漏！
- 解方程式法忘记 \(+c\)：移项解出 \(I\) 后记得加常数
- 递推公式忘记求 \(I_0\) 或 \(I_1\)：递推需要基底值
✎ 练习题 — 分部积分
Q1 2023 Exam 1 Q5 求 \(\displaystyle\int_1^2 x^2\ln x\,dx\)。
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令 \(u=\ln x\)，\(dv=x^2\,dx\)：\(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v=\frac{x^3}{3}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^2-\int_1^2\frac{x^2}{3}\,dx=\frac{8\ln2}{3}-\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2\)
\(=\frac{8\ln2}{3}-\frac{1}{9}(8-1)=\frac{8\ln2}{3}-\frac{7}{9}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^2-\int_1^2\frac{x^2}{3}\,dx=\frac{8\ln2}{3}-\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2\)
\(=\frac{8\ln2}{3}-\frac{1}{9}(8-1)=\frac{8\ln2}{3}-\frac{7}{9}\)
Q2 2023 Exam 2 MC Q10 若 \(I_n=\int_0^1(1-x)^n e^x\,dx\)，求递推关系。
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令 \(u=(1-x)^n\)，\(dv=e^x\,dx\)：
\(I_n=[(1-x)^n e^x]_0^1+n\int_0^1(1-x)^{n-1}e^x\,dx\)
\(=0-1+nI_{n-1}=-1+nI_{n-1}\)
\(I_n=[(1-x)^n e^x]_0^1+n\int_0^1(1-x)^{n-1}e^x\,dx\)
\(=0-1+nI_{n-1}=-1+nI_{n-1}\)
Q3 超纲挑战 利用分部积分求 \(\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\)（解方程式法）。
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令 \(I=\int e^x\sin x\,dx\)。
第一次：\(u=\sin x,\,dv=e^xdx\)：\(I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx\)
第二次：\(u=\cos x,\,dv=e^xdx\)：\(\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx=e^x\cos x+I\)
代回：\(I=e^x\sin x-e^x\cos x-I\)
\(2I=e^x(\sin x-\cos x)\)
\(I=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+c\)
第一次：\(u=\sin x,\,dv=e^xdx\)：\(I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx\)
第二次：\(u=\cos x,\,dv=e^xdx\)：\(\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx=e^x\cos x+I\)
代回：\(I=e^x\sin x-e^x\cos x-I\)
\(2I=e^x(\sin x-\cos x)\)
\(I=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+c\)
Applications 积分应用
面积、旋转体体积、弧长、旋转面面积
面积与旋转体体积
面积计算
\(\text{Area}=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\)
- 若 \(f(x)\geq g(x)\) 在整个区间上：直接 \(\int_a^b[f(x)-g(x)]dx\)
- 若曲线交叉：必须先求交点，分段计算每段的绝对值面积
- 绕 \(y\) 轴的面积：改写为 \(x=h(y)\)，对 \(y\) 积分
旋转体体积 Volume of Revolution
圆盘法 Disc Method
绕 \(x\) 轴：\(V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx\) 绕 \(y\) 轴：\(V=\pi\int_c^d[g(y)]^2\,dy\)
环形法 Washer Method（两曲线之间）
绕 \(x\) 轴：\(V=\pi\int_a^b\left\{[f(x)]^2-[g(x)]^2\right\}dx\)（\(f\geq g\geq0\)）
理解：外径 \(f(x)\)，内径 \(g(x)\)，每个截面是环形。
💡 体积 vs 面积 vs 弧长公式对比
| 计算量 | 绕 \(x\) 轴公式 | 核心因子 |
|---|---|---|
| 面积 | \(\int_a^b f(x)\,dx\) | \(f(x)\) |
| 体积 | \(\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx\) | \(\pi[f(x)]^2\) |
| 弧长 | \(\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\) | \(\sqrt{1+[f'(x)]^2}\) |
| 旋转面面积 | \(2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\) | \(2\pi|f(x)|\cdot\sqrt{1+[f'(x)]^2}\) |
✎ 练习题 — 面积与体积
Q1 2025 Exam 1 Q6 \(y=\sqrt{\frac{\arctan(x)}{1+x^2}}\) 在 \(x=1\) 到 \(x=\sqrt{3}\) 之间绕 \(x\) 轴旋转。求旋转体体积，答案形式 \(\frac{a\pi^b}{c}\)。
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\(V=\pi\int_1^{\sqrt{3}}\frac{\arctan(x)}{1+x^2}\,dx\)。令 \(u=\arctan(x)\)，\(du=\frac{dx}{1+x^2}\)。
\(x=1: u=\frac{\pi}{4}\)；\(x=\sqrt{3}: u=\frac{\pi}{3}\)
\(V=\pi\int_{\pi/4}^{\pi/3}u\,du=\pi\left[\frac{u^2}{2}\right]_{\pi/4}^{\pi/3}=\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi^2}{9}-\frac{\pi^2}{16}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{7\pi^2}{144}=\frac{7\pi^3}{288}\)
\(x=1: u=\frac{\pi}{4}\)；\(x=\sqrt{3}: u=\frac{\pi}{3}\)
\(V=\pi\int_{\pi/4}^{\pi/3}u\,du=\pi\left[\frac{u^2}{2}\right]_{\pi/4}^{\pi/3}=\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi^2}{9}-\frac{\pi^2}{16}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{7\pi^2}{144}=\frac{7\pi^3}{288}\)
Q2 2024 Exam 1 Q5 \(y=\sqrt{k-\frac{1}{x^2}}\)，\(1\leq x\leq\frac{k}{2}\)，绕 \(x\) 轴旋转。体积 \(=\frac{7\pi}{2}\)。证明 \(k^3-2k^2-9k+4=0\)。
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\(V=\pi\int_1^{k/2}\left(k-\frac{1}{x^2}\right)dx=\pi\left[kx+\frac{1}{x}\right]_1^{k/2}=\pi\left(\frac{k^2}{2}+\frac{2}{k}-k-1\right)=\frac{7\pi}{2}\)
\(\frac{k^2}{2}+\frac{2}{k}-k-1=\frac{7}{2}\)
\(\frac{k^3+4-2k^2-2k}{2k}=\frac{7}{2}\)
\(k^3-2k^2-2k+4=7k\)
\(k^3-2k^2-9k+4=0\) ■
\(\frac{k^2}{2}+\frac{2}{k}-k-1=\frac{7}{2}\)
\(\frac{k^3+4-2k^2-2k}{2k}=\frac{7}{2}\)
\(k^3-2k^2-2k+4=7k\)
\(k^3-2k^2-9k+4=0\) ■
弧长与旋转面面积
弧长 Arc Length
弧长微元 \(ds\) 的本质是勾股定理：\(ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\)
Cartesian：\(L=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\)
参数形式：\(L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\)
旋转面面积 Surface Area of Revolution
旋转面面积 = 每段弧绕轴旋转一圈扫出的面积之和。关键因子：\(2\pi\times\)旋转半径\(\times ds\)
| 旋转轴 | Cartesian 形式 | 参数形式 |
|---|---|---|
| 绕 \(x\) 轴 | \(S=2\pi\int_a^b|y|\sqrt{1+(y')^2}\,dx\) | \(S=2\pi\int|y(t)|\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,dt\) |
| 绕 \(y\) 轴 | \(S=2\pi\int_a^b|x|\sqrt{1+(y')^2}\,dx\) | \(S=2\pi\int|x(t)|\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,dt\) |
记忆技巧：旋转半径是到旋转轴的距离。绕 \(x\) 轴 → 半径 = \(|y|\)；绕 \(y\) 轴 → 半径 = \(|x|\)。
参数形式速度与弧长的关系
对运动学中的粒子，速率 \(=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}=\frac{ds}{dt}\)。所以：
弧长 = \(\int_{t_1}^{t_2}\text{speed}(t)\,dt\)，旋转面面积 = \(2\pi\int|y|\cdot\text{speed}\,dt\)
⚠️ 考试高频错误（考官报告）
- 体积 vs 面积混淆：体积用 \(\pi y^2\)，旋转面面积用 \(2\pi|y|\cdot ds\)，完全不同！
- 参数形式漏 \(dt\)：弧长微元 \(ds=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,dt\) 不能丢 \(dt\)
- 绕轴搞混：绕 \(y\) 轴时旋转半径是 \(|x|\)，不是 \(|y|\)
- 化简 \(\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\)：常需要用 \(\sin^2+\cos^2=1\) 化简
✎ 练习题 — 弧长与旋转面
Q1 2025 NHT Exam 1 Q8 参数曲线 \(x=4\cos^3\theta\)，\(y=4\sin^3\theta\)（\(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\)）绕 \(y\) 轴旋转。求旋转面面积。
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\(\frac{dx}{d\theta}=-12\cos^2\theta\sin\theta\)，\(\frac{dy}{d\theta}=12\sin^2\theta\cos\theta\)
\(ds=\sqrt{144\cos^4\theta\sin^2\theta+144\sin^4\theta\cos^2\theta}\,d\theta=12|\sin\theta\cos\theta|\,d\theta\)
\(S=2\pi\int_0^{\pi/2}4\cos^3\theta\cdot12\sin\theta\cos\theta\,d\theta=96\pi\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\sin\theta\,d\theta\)
令 \(u=\cos\theta\)：\(=96\pi\int_1^0 u^4(-du)=96\pi\left[\frac{u^5}{5}\right]_0^1=\frac{96\pi}{5}\)
\(ds=\sqrt{144\cos^4\theta\sin^2\theta+144\sin^4\theta\cos^2\theta}\,d\theta=12|\sin\theta\cos\theta|\,d\theta\)
\(S=2\pi\int_0^{\pi/2}4\cos^3\theta\cdot12\sin\theta\cos\theta\,d\theta=96\pi\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\sin\theta\,d\theta\)
令 \(u=\cos\theta\)：\(=96\pi\int_1^0 u^4(-du)=96\pi\left[\frac{u^5}{5}\right]_0^1=\frac{96\pi}{5}\)
Q2 2025 NHT Exam 2 MC Q9 参数曲线 \(x=e^t\sin t\)，\(y=e^t\cos t\)（\(t\in[0,\frac{\pi}{2}]\)）。求弧长积分表达式。
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\(\dot{x}=e^t(\sin t+\cos t)\)，\(\dot{y}=e^t(\cos t-\sin t)\)
\(\dot{x}^2+\dot{y}^2=e^{2t}[(\sin t+\cos t)^2+(\cos t-\sin t)^2]=e^{2t}\cdot2\)
\(L=\int_0^{\pi/2}\sqrt{2}\,e^t\,dt=\sqrt{2}(e^{\pi/2}-1)\)
\(\dot{x}^2+\dot{y}^2=e^{2t}[(\sin t+\cos t)^2+(\cos t-\sin t)^2]=e^{2t}\cdot2\)
\(L=\int_0^{\pi/2}\sqrt{2}\,e^t\,dt=\sqrt{2}(e^{\pi/2}-1)\)
Q3 超纲挑战 求 \(y=\ln(\cos x)\) 在 \(x\in[0,\frac{\pi}{4}]\) 上的弧长。
🔒 点击展开解答
\(\frac{dy}{dx}=-\tan x\)，\(1+\tan^2x=\sec^2x\)
\(L=\int_0^{\pi/4}\sec x\,dx=[\ln|\sec x+\tan x|]_0^{\pi/4}=\ln(\sqrt{2}+1)-\ln1=\ln(\sqrt{2}+1)\)
\(L=\int_0^{\pi/4}\sec x\,dx=[\ln|\sec x+\tan x|]_0^{\pi/4}=\ln(\sqrt{2}+1)-\ln1=\ln(\sqrt{2}+1)\)
Differential Equations 微分方程
分离变量法、逻辑斯蒂方程、Euler方法、斜率场
分离变量法 Separation of Variables
核心方法
\(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y) \Rightarrow \int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx\)
适用条件：右边可以写成"只含 \(x\) 的函数 × 只含 \(y\) 的函数"的形式。
分离变量法 5 步标准操作
- 判断可分离性：确认 \(\frac{dy}{dx}\) 能写成 \(f(x)\cdot g(y)\)
- 分离：将 \(y\) 和 \(dy\) 放一边，\(x\) 和 \(dx\) 放另一边
- 积分：两边分别积分（别忘常数 \(c\)！只需一边加）
- 代入初始条件：用 \(y(x_0)=y_0\) 确定 \(c\)
- 整理：尽可能写成 \(y=\ldots\) 的显式（有时只能保留隐式）
三种基本类型
| 类型 | 形式 | 操作 |
|---|---|---|
| Type 1 | \(\frac{dy}{dx}=f(x)\) | 直接积分：\(y=\int f(x)\,dx\) |
| Type 2 | \(\frac{dy}{dx}=g(y)\) | 取倒数：\(\frac{dx}{dy}=\frac{1}{g(y)}\)，积分得 \(x\) |
| Type 3 | \(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\) | 分离：\(\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx\) |
⚠️ 常数解陷阱
当 \(g(y_0)=0\) 时，\(y=y_0\) 是常数解（平衡解）。分离变量时除以 \(g(y)\) 会丢失此解！
例：\(\frac{dy}{dx}=y(1-y)\)。\(y=0\) 和 \(y=1\) 是常数解，分离变量只能找到 \(0
经典模型（考试常考的四个）
| 模型 | 微分方程 | 解 |
|---|---|---|
| 指数增长/衰减 | \(\frac{dP}{dt}=kP\) | \(P=P_0e^{kt}\) |
| 半衰期 | \(\frac{dN}{dt}=-kN\) | \(t_{1/2}=\frac{\ln2}{k}\) |
| 牛顿冷却 | \(\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{\text{env}})\) | \(T=T_{\text{env}}+(T_0-T_{\text{env}})e^{-kt}\) |
| 逻辑斯蒂 | \(\frac{dP}{dt}=rP(1-P/K)\) | 见下一节 |
工作示例：完整求解过程
\(\frac{dy}{dx}=-x\sqrt{4-y^2}\)，\(y(2)=0\)
- 分离：\(\frac{dy}{\sqrt{4-y^2}}=-x\,dx\)
- 积分：\(\sin^{-1}\!\left(\frac{y}{2}\right)=-\frac{x^2}{2}+c\)
- 初始条件：\(y(2)=0\)：\(\sin^{-1}(0)=-2+c \Rightarrow c=2\)
- 整理：\(\frac{y}{2}=\sin\!\left(2-\frac{x^2}{2}\right) \Rightarrow y=2\sin\!\left(2-\frac{x^2}{2}\right)\)
✎ 练习题 — 分离变量法
Q1 2024 Exam 1 Q7 解微分方程 \(x+2y\sqrt{x^2+1}\frac{dy}{dx}=0\)，已知 \(y(0)=-2\)。
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\(2y\,dy=-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\)
\(\int 2y\,dy=-\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\)
\(y^2=-\sqrt{x^2+1}+c\)
初始条件 \(y(0)=-2\)：\(4=-1+c \Rightarrow c=5\)
\(y^2=5-\sqrt{x^2+1}\)，\(y=-\sqrt{5-\sqrt{x^2+1}}\)（取负值因 \(y(0)=-2\)）
\(\int 2y\,dy=-\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\)
\(y^2=-\sqrt{x^2+1}+c\)
初始条件 \(y(0)=-2\)：\(4=-1+c \Rightarrow c=5\)
\(y^2=5-\sqrt{x^2+1}\)，\(y=-\sqrt{5-\sqrt{x^2+1}}\)（取负值因 \(y(0)=-2\)）
Q2 2022 Exam 1 Q2 解 \(\frac{dy}{dx}=-x\sqrt{4-y^2}\)，\(y(2)=0\)。
🔒 点击展开解答
\(\int\frac{dy}{\sqrt{4-y^2}}=-\int x\,dx\)
\(\sin^{-1}\!\left(\frac{y}{2}\right)=-\frac{x^2}{2}+c\)
\(y(2)=0\)：\(0=-2+c \Rightarrow c=2\)
\(y=2\sin\!\left(2-\frac{x^2}{2}\right)\)
\(\sin^{-1}\!\left(\frac{y}{2}\right)=-\frac{x^2}{2}+c\)
\(y(2)=0\)：\(0=-2+c \Rightarrow c=2\)
\(y=2\sin\!\left(2-\frac{x^2}{2}\right)\)
Q3 超纲挑战 解 \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-1}{x}\)，\(y(1)=2\)。求 \(y\) 的定义域。
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\(\int\frac{dy}{y^2-1}=\int\frac{dx}{x}\)
\(\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right)dy=\ln|x|+c_1\)
\(\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=\ln|x|+c_1\)
\(\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=Cx^2\)。\(y(1)=2\)：\(\frac{1}{3}=C\)。
\(\frac{y-1}{y+1}=\frac{x^2}{3}\)（取正号因 \(y>1\)）
\(3y-3=x^2y+x^2 \Rightarrow y(3-x^2)=x^2+3 \Rightarrow y=\frac{x^2+3}{3-x^2}\)
定义域：\(3-x^2>0 \Rightarrow x\in(-\sqrt{3},\sqrt{3})\)，含 \(x=1\)。
\(\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right)dy=\ln|x|+c_1\)
\(\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=\ln|x|+c_1\)
\(\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=Cx^2\)。\(y(1)=2\)：\(\frac{1}{3}=C\)。
\(\frac{y-1}{y+1}=\frac{x^2}{3}\)（取正号因 \(y>1\)）
\(3y-3=x^2y+x^2 \Rightarrow y(3-x^2)=x^2+3 \Rightarrow y=\frac{x^2+3}{3-x^2}\)
定义域：\(3-x^2>0 \Rightarrow x\in(-\sqrt{3},\sqrt{3})\)，含 \(x=1\)。
逻辑斯蒂方程 Logistic DE
标准形式
\(\frac{dP}{dt}=rP\!\left(1-\frac{P}{K}\right)\)，\(0
- \(r\)：增长参数 growth parameter（小种群时的近似增长率）
- \(K\)：环境容纳量 carrying capacity（最大可持续种群数）
图像五大特征
- 初始：\(P(0)=P_0\)，接近指数增长（因 \(P\) 小，\(1-P/K\approx1\)）
- 拐点：\(P=\frac{K}{2}\) 时增长最快（\(\frac{d^2P}{dt^2}=0\)，S 形曲线转折处）
- 减速：\(P>\frac{K}{2}\) 后增长率递减
- 渐近线：\(P\to K\) 当 \(t\to\infty\)（\(y=K\) 是水平渐近线）
- 常数解：\(P=0\) 和 \(P=K\) 是平衡解
拐点的严格证明（考试高频题！）
设 \(\frac{dP}{dt}=rP-\frac{rP^2}{K}\)，对 \(t\) 求导（用链式法则）：
\(\frac{d^2P}{dt^2}=\left(r-\frac{2rP}{K}\right)\frac{dP}{dt}=r\!\left(1-\frac{2P}{K}\right)\cdot rP\!\left(1-\frac{P}{K}\right)\)
\(\frac{d^2P}{dt^2}=0\)：由 \(1-\frac{2P}{K}=0\) 得 \(P=\frac{K}{2}\)（其余因子在 \(0
完整求解过程（6 步法）
- 分离变量：\(\int\frac{dP}{P(1-P/K)}=\int r\,dt\)
- 部分分式：\(\frac{K}{P(K-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\)
- 积分：\(\ln|P|-\ln|K-P|=rt+c_1\)，即 \(\ln\frac{P}{K-P}=rt+c_1\)
- 取指数：\(\frac{P}{K-P}=Ce^{rt}\)，其中 \(C=e^{c_1}\)
- 初始条件：\(t=0\)：\(C=\frac{P_0}{K-P_0}\)
- 解出 \(P(t)\)：\(P=\frac{KCe^{rt}}{1+Ce^{rt}}=\frac{P_0K}{P_0+(K-P_0)e^{-rt}}\)
解的公式
\(P(t)=\frac{P_0 K}{P_0+(K-P_0)e^{-rt}}\)
验证：\(P(0)=\frac{P_0K}{K}=P_0\) ✓；\(t\to\infty\)：\(e^{-rt}\to0\)，\(P\to K\) ✓
混合问题（Tank / Mixing Problem）
另一类考试高频题：溶液以某浓度流入容器，同时以某速率流出。
\(\frac{dQ}{dt}=\text{流入率}-\text{流出率}=c_{\text{in}}\cdot r_{\text{in}}-\frac{Q}{V(t)}\cdot r_{\text{out}}\)
- \(Q\)：容器中溶质质量；\(V(t)\)：容器中溶液体积（可能随时间变化）
- 若流入=流出（体积不变）：\(V(t)=V_0\)，方程变为线性一阶 DE
- 2025 E2 Q3：\(\frac{dQ}{dt}=\frac{300-Q}{150}\)，解为 \(Q=300-295e^{-t/150}\)
⚠️ Logistic 考试必考点汇总
- 求 \(r\) 和 \(K\)：从方程中直接读取（注意展开后的系数）
- 证明拐点：求 \(\frac{d^2P}{dt^2}\)，令 \(=0\)，证 \(P=K/2\)
- 改良模型：加入捕获项 \(-hP\) 或死亡项，求新的 \(r'\) 和 \(K'\)
- 最大增长率的值：\(\frac{dP}{dt}\Big|_{P=K/2}=r\cdot\frac{K}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{rK}{4}\)
✎ 练习题 — 逻辑斯蒂方程
Q1 2023 Exam 2 Q4 鱼群满足 \(\frac{dP}{dt}=P\!\left(1-\frac{P}{1000}\right)\)，\(P(0)=200\)。
(a) 解此方程。
(b) 求 \(P\to\infty\) 时的极限。
(a) 解此方程。
(b) 求 \(P\to\infty\) 时的极限。
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(a) \(\int\frac{dP}{P(1-P/1000)}=\int dt\)。
部分分式：\(\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1/1000}{1-P/1000}\right)dP=t+c\)
\(\ln P-\ln|1000-P|=t+c\)。\(P(0)=200\)：\(\ln\frac{200}{800}=c\)，\(c=-\ln4\)。
\(\frac{P}{1000-P}=\frac{1}{4}e^t \Rightarrow P=\frac{1000}{1+4e^{-t}}\)
(b) \(t\to\infty\)：\(4e^{-t}\to0\)，\(P\to1000=K\)
部分分式：\(\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1/1000}{1-P/1000}\right)dP=t+c\)
\(\ln P-\ln|1000-P|=t+c\)。\(P(0)=200\)：\(\ln\frac{200}{800}=c\)，\(c=-\ln4\)。
\(\frac{P}{1000-P}=\frac{1}{4}e^t \Rightarrow P=\frac{1000}{1+4e^{-t}}\)
(b) \(t\to\infty\)：\(4e^{-t}\to0\)，\(P\to1000=K\)
Q2 超纲挑战 修改后的逻辑斯蒂方程 \(\frac{dP}{dt}=0.04P\!\left(1-\frac{P}{500}\right)-hP\)（\(h\) 为常数捕获率）。
(a) 求使种群不灭绝的最大 \(h\) 值。
(b) 当 \(h=0.01\) 时，求新的环境容纳量。
(a) 求使种群不灭绝的最大 \(h\) 值。
(b) 当 \(h=0.01\) 时，求新的环境容纳量。
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(a) \(\frac{dP}{dt}=P\!\left(0.04-\frac{0.04P}{500}-h\right)=P\!\left((0.04-h)-\frac{0.04}{500}P\right)\)
种群不灭绝需 \(0.04-h>0 \Rightarrow h<0.04\)
(b) \(h=0.01\)：\(\frac{dP}{dt}=P\!\left(0.03-\frac{0.04P}{500}\right)=0.03P\!\left(1-\frac{P}{375}\right)\)
新容纳量 \(K'=375\)
种群不灭绝需 \(0.04-h>0 \Rightarrow h<0.04\)
(b) \(h=0.01\)：\(\frac{dP}{dt}=P\!\left(0.03-\frac{0.04P}{500}\right)=0.03P\!\left(1-\frac{P}{375}\right)\)
新容纳量 \(K'=375\)
Euler 方法与斜率场
Euler 方法
\(y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)\)，\(x_{n+1}=x_n+h\)
- \(h\)：步长 step size
- 步长越小 → 近似越准确
- 考试中通常只需 2-3 步计算
斜率场 Slope Fields
- 在 \((x,y)\) 平面上每点画斜率为 \(f(x,y)\) 的短线段
- 解曲线与线段相切
- 水平线段：\(f(x,y)=0\) 的点集（零线 nullcline）
斜率场匹配技巧（MC 高频题！）
给出一幅斜率场图，要求选出对应的 DE。按以下顺序排除：
| 检查 | 方法 | 排除依据 |
|---|---|---|
| 1. 水平线段 | 找 \(\frac{dy}{dx}=0\) 的位置 | 若图中 \(y=x\) 处水平 → DE 在 \(y=x\) 时为 0 |
| 2. 垂直线段 | 找 \(\frac{dy}{dx}\to\pm\infty\) 的位置 | 分母为零的位置 |
| 3. 符号 | 在某区域线段向上还是向下 | 判断 \(f(x,y)>0\) 还是 \(<0\) |
| 4. 对称性 | 是否只含 \(x\)、只含 \(y\)、或含两者 | 若斜率只随 \(y\) 变化 → DE 只含 \(y\) |
2025 E2 MC Q8：答案 \(\frac{dy}{dx}=x-y\)。验证：\(y=x\) 线上斜率 \(=0\) ✓；\(y>x\) 区域斜率 \(<0\) ✓
💡 Euler 法的误差方向
- 若解曲线凹向上：Euler 法低估（切线在曲线下方）
- 若解曲线凹向下：Euler 法高估（切线在曲线上方）
- 判断凹凸性：看 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 的符号
✎ 练习题 — Euler法
Q1 2025 Exam 2 Q3c \(\frac{dQ}{dt}=\frac{300-Q}{150}\)，\(Q(0)=5\)，步长 \(h=15\)。用 Euler 法求 \(Q(30)\)。
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\(Q_0=5\)，\(f(0,5)=\frac{300-5}{150}=\frac{59}{30}\)
\(Q_1=5+15\cdot\frac{59}{30}=5+29.5=34.5\)
\(f(15,34.5)=\frac{265.5}{150}=1.77\)
\(Q_2=34.5+15\times1.77=34.5+26.55=61.05\)
\(Q_1=5+15\cdot\frac{59}{30}=5+29.5=34.5\)
\(f(15,34.5)=\frac{265.5}{150}=1.77\)
\(Q_2=34.5+15\times1.77=34.5+26.55=61.05\)
Q2 超纲挑战 \(\frac{dy}{dx}=y-x\)，\(y(0)=2\)。
(a) 用步长 \(h=0.1\) 进行 3 步 Euler 法。
(b) 实际解为 \(y=x+1+e^x\)。比较 \(x=0.3\) 处的误差。
(a) 用步长 \(h=0.1\) 进行 3 步 Euler 法。
(b) 实际解为 \(y=x+1+e^x\)。比较 \(x=0.3\) 处的误差。
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(a) \(x_0=0,\,y_0=2\)：\(f=2-0=2\)，\(y_1=2+0.2=2.2\)
\(x_1=0.1\)：\(f=2.2-0.1=2.1\)，\(y_2=2.2+0.21=2.41\)
\(x_2=0.2\)：\(f=2.41-0.2=2.21\)，\(y_3=2.41+0.221=2.631\)
(b) 精确值：\(y(0.3)=0.3+1+e^{0.3}=1.3+1.3499=2.6499\)
Euler：\(2.631\)。误差 \(=|2.6499-2.631|=0.0189\)（相对误差 \(\approx0.7\%\)）
\(x_1=0.1\)：\(f=2.2-0.1=2.1\)，\(y_2=2.2+0.21=2.41\)
\(x_2=0.2\)：\(f=2.41-0.2=2.21\)，\(y_3=2.41+0.221=2.631\)
(b) 精确值：\(y(0.3)=0.3+1+e^{0.3}=1.3+1.3499=2.6499\)
Euler：\(2.631\)。误差 \(=|2.6499-2.631|=0.0189\)（相对误差 \(\approx0.7\%\)）
Kinematics 运动学
位置、速度、加速度、匀加速运动
基本运动学
核心关系
\(v=\frac{dx}{dt}=\dot{x}\)，\(a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=\ddot{x}\)
- \(v>0\)：向右 \(v<0\)：向左 \(v=0\)：瞬时静止
- 速率 Speed = \(|v|\)（标量）；速度 Velocity = \(v\)（矢量）
- 位移 = \(\int_{t_1}^{t_2}v\,dt\)（有正负）；路程 = \(\int_{t_1}^{t_2}|v|\,dt\)（总为正）
- \(a\) 与 \(v\) 同号 → 加速；异号 → 减速
匀加速运动四公式（仅限 \(a\) 为常数！）
\(v=u+at\)，\(s=ut+\frac{1}{2}at^2\)，\(v^2=u^2+2as\)，\(s=\frac{(u+v)t}{2}\)
⚠️ 中点速度公式
匀加速下：时间中点速度 \(=\frac{u+v}{2}\)，位移中点速度 \(=\sqrt{\frac{u^2+v^2}{2}}\)（2025 E2 MC Q12，2022 E2 MC Q14）。
✎ 练习题 — 基本运动学
Q1 2025 Exam 1 Q3 \(v(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+k}}\)，从原点静止出发。
(a) 证明 \(x(t)=\sqrt{t^2+k}-\sqrt{k}\)。
(b) 求初始加速度。
(c) 第二粒子 \(s(t)=t\)，\(t=3\) 时领先 1 m。求 \(k\)。
(a) 证明 \(x(t)=\sqrt{t^2+k}-\sqrt{k}\)。
(b) 求初始加速度。
(c) 第二粒子 \(s(t)=t\)，\(t=3\) 时领先 1 m。求 \(k\)。
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(a) \(x=\int\frac{t}{\sqrt{t^2+k}}\,dt\)。令 \(u=t^2+k\)：\(x=\sqrt{t^2+k}+c\)。\(x(0)=0\)：\(c=-\sqrt{k}\)。✓
(b) \(a=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+k}}\right)=\frac{\sqrt{t^2+k}-\frac{t^2}{\sqrt{t^2+k}}}{t^2+k}=\frac{k}{(t^2+k)^{3/2}}\)
\(a(0)=\frac{k}{k^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{k}}\)
(c) \(t=3\)：\(s(3)-x(3)=1\)，\(3-(\sqrt{9+k}-\sqrt{k})=1\)
\(\sqrt{9+k}-\sqrt{k}=2\)。令 \(u=\sqrt{k}\)：\(\sqrt{u^2+9}-u=2 \Rightarrow u^2+9=(u+2)^2=u^2+4u+4\)
\(5=4u \Rightarrow u=\frac{5}{4} \Rightarrow k=\frac{25}{16}\)
(b) \(a=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+k}}\right)=\frac{\sqrt{t^2+k}-\frac{t^2}{\sqrt{t^2+k}}}{t^2+k}=\frac{k}{(t^2+k)^{3/2}}\)
\(a(0)=\frac{k}{k^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{k}}\)
(c) \(t=3\)：\(s(3)-x(3)=1\)，\(3-(\sqrt{9+k}-\sqrt{k})=1\)
\(\sqrt{9+k}-\sqrt{k}=2\)。令 \(u=\sqrt{k}\)：\(\sqrt{u^2+9}-u=2 \Rightarrow u^2+9=(u+2)^2=u^2+4u+4\)
\(5=4u \Rightarrow u=\frac{5}{4} \Rightarrow k=\frac{25}{16}\)
Q2 2025 Exam 2 MC Q12 匀加速下，A 到 B 的初速 \(u\)、末速 \(v\)。求 AB 位移中点的速度。
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设 AB 总位移 \(=s\)。在中点 \(\frac{s}{2}\) 处速度 \(v_m\)：
\(v_m^2=u^2+2a\cdot\frac{s}{2}=u^2+as\)
而 \(v^2=u^2+2as \Rightarrow as=\frac{v^2-u^2}{2}\)
\(v_m^2=u^2+\frac{v^2-u^2}{2}=\frac{u^2+v^2}{2}\)
\(v_m=\sqrt{\frac{u^2+v^2}{2}}\)
\(v_m^2=u^2+2a\cdot\frac{s}{2}=u^2+as\)
而 \(v^2=u^2+2as \Rightarrow as=\frac{v^2-u^2}{2}\)
\(v_m^2=u^2+\frac{v^2-u^2}{2}=\frac{u^2+v^2}{2}\)
\(v_m=\sqrt{\frac{u^2+v^2}{2}}\)
高级运动学 Advanced Kinematics
加速度的四种表达形式（核心！）
\(a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}v^2\right)\)
选择哪种形式取决于加速度表达式中的变量和初始条件给定的变量：
| 已知加速度形式 | 给定条件 | 选用公式 | 操作 |
|---|---|---|---|
| \(a=f(t)\) | \(t\) 和 \(v\) 或 \(x\) | \(a=\frac{dv}{dt}\) | 对 \(t\) 积分得 \(v(t)\)，再积分得 \(x(t)\) |
| \(a=f(v)\) | \(t_0\) 和 \(v_0\) | \(\frac{dv}{dt}=f(v)\) | 分离变量：\(\int\frac{dv}{f(v)}=\int dt\) |
| \(a=f(v)\) | \(x_0\) 和 \(v_0\) | \(v\frac{dv}{dx}=f(v)\) | 分离变量：\(\int\frac{v\,dv}{f(v)}=\int dx\) |
| \(a=f(x)\) | \(x_0\) 和 \(v_0\) | \(\frac{d}{dx}\!\left(\frac{v^2}{2}\right)=f(x)\) | 积分：\(\frac{v^2}{2}=\int f(x)\,dx+C\) |
工作示例：\(a=f(x)\) 类型
\(v^2=1600+\frac{672}{\pi}\cos^{-1}\!\left(\frac{x}{20}\right)\)。求 \(x=12\) 时的加速度。
- 已知 \(\frac{1}{2}v^2\) 与 \(x\) 的关系 → 用 \(a=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}v^2\right)\)
- \(a=\frac{1}{2}\cdot\frac{672}{\pi}\cdot\frac{-1}{\sqrt{400-x^2}}=\frac{-336}{\pi\sqrt{400-x^2}}\)
- \(x=12\)：\(a=\frac{-336}{16\pi}=-\frac{21}{\pi}\)
工作示例：\(a=f(v)\) 类型
\(a=1+v\)，从静止出发。求 \(t=\ln(e+1)\) 时的速度。
- 加速度含 \(v\)，条件含 \(t\) → 用 \(\frac{dv}{dt}=1+v\)
- \(\int\frac{dv}{1+v}=\int dt \Rightarrow \ln|1+v|=t+c\)
- \(v(0)=0\)：\(c=0\)。\(v=e^t-1\)
- \(t=\ln(e+1)\)：\(v=e^{\ln(e+1)}-1=e+1-1=e\)
简谐运动 SHM（Simple Harmonic Motion）
SHM 的标志：\(a=-\omega^2 x\)（加速度总指向平衡位置且与位移成正比）
| 量 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 位置 | \(x=A\sin(\omega t+\phi)\) 或 \(A\cos(\omega t+\phi)\) | \(A\) = 振幅 |
| 速度 | \(v=A\omega\cos(\omega t+\phi)\) | 最大速率 \(=A\omega\)（在 \(x=0\)） |
| 加速度 | \(a=-A\omega^2\sin(\omega t+\phi)=-\omega^2 x\) | 最大加速度 \(=A\omega^2\)（在 \(x=\pm A\)） |
| \(v\text{-}x\) 关系 | \(v^2=\omega^2(A^2-x^2)\) | 椭圆轨迹 |
| 周期 | \(T=\frac{2\pi}{\omega}\) | 与振幅无关 |
\(v^2=\omega^2(A^2-x^2)\) 由 \(a=\frac{d}{dx}(\frac{v^2}{2})=-\omega^2 x\) 积分得到
✎ 练习题 — 高级运动学
Q1 2023 Exam 1 Q3 \(v=\frac{3x+2}{2x-1}\)，\(x\geq1\)。
(a) 求 \(x=2\) 时的加速度。
(b) 当 \(x\to\infty\) 时，\(v\to?\)
(a) 求 \(x=2\) 时的加速度。
(b) 当 \(x\to\infty\) 时，\(v\to?\)
🔒 点击展开解答
(a) \(a=v\frac{dv}{dx}\)。\(\frac{dv}{dx}=\frac{3(2x-1)-2(3x+2)}{(2x-1)^2}=\frac{-7}{(2x-1)^2}\)
\(x=2\)：\(v=\frac{8}{3}\)，\(\frac{dv}{dx}=\frac{-7}{9}\)
\(a=\frac{8}{3}\cdot\frac{-7}{9}=-\frac{56}{27}\)
(b) \(v=\frac{3+2/x}{2-1/x}\to\frac{3}{2}\)
\(x=2\)：\(v=\frac{8}{3}\)，\(\frac{dv}{dx}=\frac{-7}{9}\)
\(a=\frac{8}{3}\cdot\frac{-7}{9}=-\frac{56}{27}\)
(b) \(v=\frac{3+2/x}{2-1/x}\to\frac{3}{2}\)
Q2 2024 Exam 1 Q9 \(v^2=1600+\frac{672}{\pi}\cos^{-1}\!\left(\frac{x}{20}\right)\)。求 \(x=12\) 时的加速度。
🔒 点击展开解答
\(a=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}v^2\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{672}{\pi}\cdot\frac{-1}{\sqrt{400-x^2}}\cdot\frac{1}{1}=\frac{-336}{\pi\sqrt{400-x^2}}\)
\(x=12\)：\(a=\frac{-336}{\pi\sqrt{256}}=\frac{-336}{16\pi}=-\frac{21}{\pi}\)
\(x=12\)：\(a=\frac{-336}{\pi\sqrt{256}}=\frac{-336}{16\pi}=-\frac{21}{\pi}\)
Q3 超纲挑战 粒子加速度 \(a=\frac{4+v^2}{2v^2}\)，\(v(0)=4\)，\(x(0)=0\)。求 \(v\) 作为 \(x\) 的函数。
🔒 点击展开解答
\(v\frac{dv}{dx}=\frac{4+v^2}{2v^2}\)
\(\frac{2v^3}{4+v^2}\,dv=dx\)
\(\int\frac{2v^3}{4+v^2}\,dv=\int dx\)
令 \(w=v^2\)，\(dw=2v\,dv\)：\(\int\frac{w}{4+w}\,dw=\int\left(1-\frac{4}{4+w}\right)dw=w-4\ln|4+w|\)
\(v^2-4\ln(4+v^2)=x+c\)。\(v(0)=4\)：\(16-4\ln20=c\)
\(v^2-4\ln(4+v^2)=x+16-4\ln20\)
\(\frac{2v^3}{4+v^2}\,dv=dx\)
\(\int\frac{2v^3}{4+v^2}\,dv=\int dx\)
令 \(w=v^2\)，\(dw=2v\,dv\)：\(\int\frac{w}{4+w}\,dw=\int\left(1-\frac{4}{4+w}\right)dw=w-4\ln|4+w|\)
\(v^2-4\ln(4+v^2)=x+c\)。\(v(0)=4\)：\(16-4\ln20=c\)
\(v^2-4\ln(4+v^2)=x+16-4\ln20\)
向量运动学 Vector Kinematics
核心关系（二维/三维）
粒子在平面或空间中运动时，位置、速度、加速度均为向量：
| 量 | 表达式 | 说明 |
|---|---|---|
| 位置 | \(\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}\; [\!+z(t)\vec{k}]\) | 坐标分量形式 |
| 速度 | \(\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}\) | 各分量分别对 \(t\) 求导 |
| 加速度 | \(\vec{a}(t)=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{i}+\ddot{y}\vec{j}\) | 速度再对 \(t\) 求导 |
| 速率 | \(|\vec{v}|=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\) | 速度向量的模（标量） |
从加速度还原速度
\(\vec{v}(t)=\int\vec{a}(t)\,dt+\vec{C}\)
用初始条件 \(\vec{v}(0)\) 确定常数向量 \(\vec{C}\)。注意：各分量独立积分
工作示例（2022 E2 MC13）：\(\ddot{\vec{r}}=\sin t\,\vec{i}+2\cos t\,\vec{j}\)，\(\dot{\vec{r}}(0)=2\vec{i}+\vec{j}\)。
- \(\dot{x}=\int\sin t\,dt=-\cos t+c_1\)。\(\dot{x}(0)=2\)：\(-1+c_1=2 \Rightarrow c_1=3\)。故 \(\dot{x}=3-\cos t\)
- \(\dot{y}=\int2\cos t\,dt=2\sin t+c_2\)。\(\dot{y}(0)=1\)：\(c_2=1\)。故 \(\dot{y}=2\sin t+1\)
- \(\vec{v}=(3-\cos t)\vec{i}+(2\sin t+1)\vec{j}\)
垂直条件（每年必考！）
\(\vec{v}\perp\vec{a}\iff\vec{v}\cdot\vec{a}=0\iff\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}=0\)
物理意义：当速度和加速度垂直时，加速度只改变运动方向而不改变速率 → 速率达到极值（最大或最小）。
| 条件 | 含义 | 公式 |
|---|---|---|
| \(\vec{v}\perp\vec{a}\) | 速率取极值 | \(\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}=0\) |
| \(\vec{v}\perp\vec{r}\) | 到原点距离取极值 | \(x\dot{x}+y\dot{y}=0\) |
| 最大速率 | 直接求 \(|\vec{v}|^2\) 的最大值 | \(\frac{d}{dt}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)=0\) |
工作示例：垂直条件
（2025 E2 MC16）\(\vec{r}(t)=ne^{-2t}\vec{i}-t^2\vec{j}\)，求 \(n\) 使 \(t=\frac{1}{2}\) 时 \(\vec{a}\perp\vec{v}\)。
- \(\vec{v}=-2ne^{-2t}\vec{i}-2t\vec{j}\)，\(\vec{a}=4ne^{-2t}\vec{i}-2\vec{j}\)
- \(\vec{v}\cdot\vec{a}=(-2ne^{-2t})(4ne^{-2t})+(-2t)(-2)=-8n^2e^{-4t}+4t\)
- 在 \(t=\frac{1}{2}\)：\(-8n^2e^{-2}+2=0 \Rightarrow n^2=\frac{e^2}{4} \Rightarrow n=\frac{e}{2}\)
碰撞问题 Collision
两粒子 A、B 碰撞 ⟺ 在同一时刻到达同一位置：
\(\vec{r}_A(t)=\vec{r}_B(t) \iff \begin{cases}x_A(t)=x_B(t)\\y_A(t)=y_B(t)\end{cases}\)
- 先解一个分量方程得到 \(t\) 值，再代入另一个分量验证
- 若两个分量给出不同的 \(t\) → 不碰撞，只是轨迹相交
速率与弧长
弧长 \(=\int_{t_1}^{t_2}|\vec{v}|\,dt=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,dt\)
速率就是弧长对时间的导数。最大速率时刻可通过 \(\frac{d}{dt}|\vec{v}|^2=0\) 求解。
⚠ 向量运动学常见错误
- 混淆速率（标量 \(|\vec{v}|\)）和速度分量（\(\dot{x}\) 或 \(\dot{y}\)）
- 积分加速度时忘记每个分量都有常数，需用 \(\vec{v}(0)\) 确定
- 碰撞 ≠ 轨迹相交：必须同一 \(t\) 满足两个方程
- 求速率极值时，对 \(|\vec{v}|^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2\) 求导比直接对 \(|\vec{v}|\) 求导更简单
✎ 练习题 — 向量运动学
Q1 2025 Exam 1 Q5 两粒子位置向量为 \(\vec{r}_A=t^2\vec{i}+(at+b)\vec{j}\) 和 \(\vec{r}_B=(3t+c)\vec{i}+t^3\vec{j}\)。
(a) 已知 \(t=1\) 时碰撞，证明 \(c=-4\)。
(b) 求 \(a\) 使碰撞时速度垂直。
(c) 求 \(a,b\) 使加速度等大。
(a) 已知 \(t=1\) 时碰撞，证明 \(c=-4\)。
(b) 求 \(a\) 使碰撞时速度垂直。
(c) 求 \(a,b\) 使加速度等大。
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(a) \(x\)-分量：\(t^2=3t+c\)，\(t=1\)：\(1=3+c \Rightarrow c=-4\) ✓
(b) \(\vec{v}_A=2t\vec{i}+a\vec{j}\)，\(\vec{v}_B=3\vec{i}+3t^2\vec{j}\)
\(t=1\)：\(\vec{v}_A\cdot\vec{v}_B=6+3a=0 \Rightarrow a=-2\)
但需同时满足 \(y\)-碰撞：\(a+b=1\)。若 \(a=-2\)：\(b=3\)。
验证：\(\vec{v}_A=2\vec{i}-2\vec{j}\)，\(\vec{v}_B=3\vec{i}+3\vec{j}\)。\(\vec{v}_A\cdot\vec{v}_B=6-6=0\) ✓
(c) \(\vec{a}_A=2\vec{i}\)，\(\vec{a}_B=6t\vec{j}\)。
\(|\vec{a}_A|=2\)，\(|\vec{a}_B|=6t\)。\(t=1\)：\(6\neq2\)。
等大条件：\(|\vec{a}_A|=|\vec{a}_B| \Rightarrow 2=6t \Rightarrow t=\frac{1}{3}\)
但碰撞在 \(t=1\)，故此条件在 \(t=\frac{1}{3}\) 时满足。
(b) \(\vec{v}_A=2t\vec{i}+a\vec{j}\)，\(\vec{v}_B=3\vec{i}+3t^2\vec{j}\)
\(t=1\)：\(\vec{v}_A\cdot\vec{v}_B=6+3a=0 \Rightarrow a=-2\)
但需同时满足 \(y\)-碰撞：\(a+b=1\)。若 \(a=-2\)：\(b=3\)。
验证：\(\vec{v}_A=2\vec{i}-2\vec{j}\)，\(\vec{v}_B=3\vec{i}+3\vec{j}\)。\(\vec{v}_A\cdot\vec{v}_B=6-6=0\) ✓
(c) \(\vec{a}_A=2\vec{i}\)，\(\vec{a}_B=6t\vec{j}\)。
\(|\vec{a}_A|=2\)，\(|\vec{a}_B|=6t\)。\(t=1\)：\(6\neq2\)。
等大条件：\(|\vec{a}_A|=|\vec{a}_B| \Rightarrow 2=6t \Rightarrow t=\frac{1}{3}\)
但碰撞在 \(t=1\)，故此条件在 \(t=\frac{1}{3}\) 时满足。
Q2 2025 Exam 2 Q17 \(\vec{a}(t)=4\cos(2t)\vec{i}+10\sin(2t)\vec{j}-6e^{-2t}\vec{k}\)，从静止出发。求 \(\vec{v}(t)\)。
🔒 点击展开解答
各分量独立积分：
\(\dot{x}=\int4\cos(2t)\,dt=2\sin(2t)+c_1\)。\(\dot{x}(0)=0\)：\(c_1=0\)
\(\dot{y}=\int10\sin(2t)\,dt=-5\cos(2t)+c_2\)。\(\dot{y}(0)=0\)：\(-5+c_2=0 \Rightarrow c_2=5\)
\(\dot{z}=\int-6e^{-2t}\,dt=3e^{-2t}+c_3\)。\(\dot{z}(0)=0\)：\(3+c_3=0 \Rightarrow c_3=-3\)
\(\vec{v}=2\sin(2t)\vec{i}+(5-5\cos(2t))\vec{j}+(3e^{-2t}-3)\vec{k}\)
\(\dot{x}=\int4\cos(2t)\,dt=2\sin(2t)+c_1\)。\(\dot{x}(0)=0\)：\(c_1=0\)
\(\dot{y}=\int10\sin(2t)\,dt=-5\cos(2t)+c_2\)。\(\dot{y}(0)=0\)：\(-5+c_2=0 \Rightarrow c_2=5\)
\(\dot{z}=\int-6e^{-2t}\,dt=3e^{-2t}+c_3\)。\(\dot{z}(0)=0\)：\(3+c_3=0 \Rightarrow c_3=-3\)
\(\vec{v}=2\sin(2t)\vec{i}+(5-5\cos(2t))\vec{j}+(3e^{-2t}-3)\vec{k}\)
Q3 超纲挑战 粒子位置 \(\vec{r}(t)=(3t-t^3)\vec{i}+3t^2\vec{j}\)，\(t\geq0\)。
(a) 求速率 \(|\vec{v}(t)|\) 并化简。
(b) 证明最小速率发生在 \(t=1\)，并求该最小速率。
(c) 求 \(t=0\) 到 \(t=2\) 的弧长。
(a) 求速率 \(|\vec{v}(t)|\) 并化简。
(b) 证明最小速率发生在 \(t=1\)，并求该最小速率。
(c) 求 \(t=0\) 到 \(t=2\) 的弧长。
🔒 点击展开解答
(a) \(\vec{v}=(3-3t^2)\vec{i}+6t\vec{j}\)
\(|\vec{v}|^2=(3-3t^2)^2+36t^2=9-18t^2+9t^4+36t^2=9t^4+18t^2+9=9(t^2+1)^2\)
\(|\vec{v}|=3(t^2+1)\)（因 \(t^2+1>0\)）
(b) \(\frac{d}{dt}|\vec{v}|=6t=0 \Rightarrow t=0\)，但 \(|\vec{v}(0)|=3\)，\(|\vec{v}|\) 随 \(t\) 递增（\(t\geq0\)）。
实际上 \(|\vec{v}|=3(t^2+1)\geq3\)，最小值在 \(t=0\) 时取得，\(|\vec{v}|_{\min}=3\)。
或者用 \(\vec{v}\perp\vec{a}\)：\(\vec{a}=-6t\vec{i}+6\vec{j}\)。
\(\vec{v}\cdot\vec{a}=(3-3t^2)(-6t)+6t\cdot6=-18t+18t^3+36t=18t^3+18t=18t(t^2+1)=0\)
\(t=0\) 时速率极值。\(|\vec{v}(0)|=3\)
(c) \(\int_0^2 3(t^2+1)\,dt=3\left[\frac{t^3}{3}+t\right]_0^2=3\left(\frac{8}{3}+2\right)=3\cdot\frac{14}{3}=14\)
\(|\vec{v}|^2=(3-3t^2)^2+36t^2=9-18t^2+9t^4+36t^2=9t^4+18t^2+9=9(t^2+1)^2\)
\(|\vec{v}|=3(t^2+1)\)（因 \(t^2+1>0\)）
(b) \(\frac{d}{dt}|\vec{v}|=6t=0 \Rightarrow t=0\)，但 \(|\vec{v}(0)|=3\)，\(|\vec{v}|\) 随 \(t\) 递增（\(t\geq0\)）。
实际上 \(|\vec{v}|=3(t^2+1)\geq3\)，最小值在 \(t=0\) 时取得，\(|\vec{v}|_{\min}=3\)。
或者用 \(\vec{v}\perp\vec{a}\)：\(\vec{a}=-6t\vec{i}+6\vec{j}\)。
\(\vec{v}\cdot\vec{a}=(3-3t^2)(-6t)+6t\cdot6=-18t+18t^3+36t=18t^3+18t=18t(t^2+1)=0\)
\(t=0\) 时速率极值。\(|\vec{v}(0)|=3\)
(c) \(\int_0^2 3(t^2+1)\,dt=3\left[\frac{t^3}{3}+t\right]_0^2=3\left(\frac{8}{3}+2\right)=3\cdot\frac{14}{3}=14\)
抛体运动 Projectile Motion
标准模型（忽略空气阻力）
物体以初速度 \(V\)、仰角 \(\alpha\)、从高度 \(h\) 处抛出。取向上为正：
| 方向 | 加速度 | 速度 | 位移 |
|---|---|---|---|
| 水平 \(x\) | \(a_x=0\) | \(\dot{x}=V\cos\alpha\) | \(x=Vt\cos\alpha\) |
| 竖直 \(y\) | \(a_y=-g\) | \(\dot{y}=V\sin\alpha-gt\) | \(y=h+Vt\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^2\) |
VCE 考试中取 \(g=9.8\) m/s\(^2\)（除非题目另行说明）。
关键量推导
| 量 | 公式 | 条件 |
|---|---|---|
| 最高点 | \(t_{\max}=\frac{V\sin\alpha}{g}\) | \(\dot{y}=0\) |
| 最大高度 | \(H=h+\frac{V^2\sin^2\alpha}{2g}\) | 代入 \(t_{\max}\) |
| 飞行时间（从地面抛出） | \(T=\frac{2V\sin\alpha}{g}\) | \(y=0\)，\(h=0\) |
| 水平射程（从地面） | \(R=\frac{V^2\sin2\alpha}{g}\) | \(h=0\) |
| 落地时间（从高度 \(h\)） | 解 \(-\frac{1}{2}gt^2+Vt\sin\alpha+h=0\) | 取正根 |
竖直抛/自由落体（特殊情况）
无水平分量（\(\alpha=90°\) 或仅竖直方向）：
\(v=u-gt\)，\(y=h+ut-\frac{1}{2}gt^2\)，\(v^2=u^2-2g(y-h)\)
- 向上抛（\(u>0\)）：先减速到 0，再反向加速落下
- 自由落体（\(u=0\)）：\(v=-gt\)，\(y=h-\frac{1}{2}gt^2\)
- 向下抛（\(u<0\)）：全程加速
工作示例
2023 E2 MC13：热气球以 2.5 m/s 匀速上升，在 80 m 高度掉落手机。求手机落地时间。
- 手机初速 \(u=+2.5\) m/s（向上），初高度 \(h=80\) m
- \(y=80+2.5t-4.9t^2=0\)
- \(4.9t^2-2.5t-80=0\)，\(t=\frac{2.5+\sqrt{6.25+1568}}{9.8}=\frac{2.5+\sqrt{1574.25}}{9.8}\approx\frac{2.5+39.68}{9.8}\approx4.30\) s
中点速度公式（MC 高频！）
匀加速运动中，从 A 到 B 的位移中点的速度：
\(v_{\text{mid}}=\sqrt{\frac{v_A^2+v_B^2}{2}}\)
注意：这不是时间中点的速度。时间中点的速度 \(=\frac{v_A+v_B}{2}\)。
推导：设 \(s\) 为总位移。在半程处 \(v_m^2=v_A^2+2a\cdot\frac{s}{2}\)。由 \(v_B^2=v_A^2+2as\)：\(as=\frac{v_B^2-v_A^2}{2}\)。代入得 \(v_m^2=v_A^2+\frac{v_B^2-v_A^2}{2}=\frac{v_A^2+v_B^2}{2}\)。
⚠ 抛体运动考试陷阱
- 正方向：必须明确向上为正还是向下为正，\(g\) 的符号随之改变
- 初始高度：从高处抛出时 \(h\neq0\)，落地条件为 \(y=0\)，不是 \(y=h\)
- 从上升物体掉落：物体继承载体速度（如上例热气球），初速向上
- 位移中点 vs 时间中点：公式不同，考试常设陷阱
✎ 练习题 — 抛体运动
Q1 2025 Exam 2 Q13 一个球以 20 m/s 的初速度从 50 m 高的建筑顶部竖直向上抛出。求球到达离地 1 m 高度的时间。
🔒 点击展开解答
\(y=50+20t-4.9t^2=1\)
\(4.9t^2-20t-49=0\)
\(t=\frac{20+\sqrt{400+960.4}}{9.8}=\frac{20+\sqrt{1360.4}}{9.8}\approx\frac{20+36.88}{9.8}\approx5.80\) s
（取正根，另一根为负无意义）
\(4.9t^2-20t-49=0\)
\(t=\frac{20+\sqrt{400+960.4}}{9.8}=\frac{20+\sqrt{1360.4}}{9.8}\approx\frac{20+36.88}{9.8}\approx5.80\) s
（取正根，另一根为负无意义）
Q2 2025 NHT E2 Q11 无人机在高度 \(h\) 处以速度 \(u\) 向上飞行时发生故障自由落体。证明落地时间为 \(\frac{u}{g}+\frac{\sqrt{u^2+2gh}}{g}\)。
🔒 点击展开解答
\(y=h+ut-\frac{1}{2}gt^2=0\)
\(\frac{1}{2}gt^2-ut-h=0\)
\(t=\frac{u+\sqrt{u^2+2gh}}{g}\)（取正根）
分离：\(t=\frac{u}{g}+\frac{\sqrt{u^2+2gh}}{g}\) ✓
物理解读：\(\frac{u}{g}\) 是从初速 \(u\) 减速到 0 的时间；\(\frac{\sqrt{u^2+2gh}}{g}\) 包含从最高点下落的时间。
\(\frac{1}{2}gt^2-ut-h=0\)
\(t=\frac{u+\sqrt{u^2+2gh}}{g}\)（取正根）
分离：\(t=\frac{u}{g}+\frac{\sqrt{u^2+2gh}}{g}\) ✓
物理解读：\(\frac{u}{g}\) 是从初速 \(u\) 减速到 0 的时间；\(\frac{\sqrt{u^2+2gh}}{g}\) 包含从最高点下落的时间。
Q3 超纲挑战 匀加速运动中，粒子通过 A 时速度 \(v_A=7\) m/s，通过 B 时速度 \(v_B=17\) m/s。
(a) 求通过 AB 中点时的速度。
(b) 求通过 AB 时间中点时的速度。
(c) 解释为何 (a) > (b)。
(a) 求通过 AB 中点时的速度。
(b) 求通过 AB 时间中点时的速度。
(c) 解释为何 (a) > (b)。
🔒 点击展开解答
(a) 位移中点：\(v_{\text{mid}}=\sqrt{\frac{7^2+17^2}{2}}=\sqrt{\frac{49+289}{2}}=\sqrt{169}=13\) m/s
(b) 时间中点：\(v_{\text{t-mid}}=\frac{7+17}{2}=12\) m/s
(c) 匀加速时物体在前半位移用时更长（速度较慢），在后半位移用时更短（速度较快）。
因此位移中点的时刻晚于时间中点，此时速度更大。
数学上：\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\)（QM ≥ AM 不等式）
(b) 时间中点：\(v_{\text{t-mid}}=\frac{7+17}{2}=12\) m/s
(c) 匀加速时物体在前半位移用时更长（速度较慢），在后半位移用时更短（速度较快）。
因此位移中点的时刻晚于时间中点，此时速度更大。
数学上：\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\)（QM ≥ AM 不等式）
📚 公式速查表 Formula Cheat Sheet
Differentiation 微分
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 乘法法则 | \((uv)'=u'v+uv'\) |
| 商法则 | \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| 链式法则 | \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\) |
| \(\sin^{-1}(x/a)\) | \(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) |
| \(\cos^{-1}(x/a)\) | \(\frac{-1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) |
| \(\tan^{-1}(x/a)\) | \(\frac{a}{a^2+x^2}\) |
| 隐函数 | \(\frac{d}{dx}(y^n)=ny^{n-1}\frac{dy}{dx}\) |
| 参数方程 | \(\frac{dy}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\) |
Integration 积分
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| \(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\sin^{-1}(x/a)+c\) |
| \(\frac{a}{a^2+x^2}\) | \(\tan^{-1}(x/a)+c\) |
| 分部积分 | \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) |
| 换元（定积分） | 必须同时换上下限 |
| \(\int\ln x\,dx\) | \(x\ln x-x+c\) |
| \(\int e^x\cos x\,dx\) | \(\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+c\) |
Applications 应用
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 旋转体体积 | \(V=\pi\int[f(x)]^2\,dx\) |
| 弧长 | \(L=\int\sqrt{1+(y')^2}\,dx\) |
| 旋转面面积 | \(S=2\pi\int|y|\sqrt{1+(y')^2}\,dx\) |
| 分离变量 | \(\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx\) |
| 逻辑斯蒂解 | \(P=\frac{P_0K}{P_0+(K-P_0)e^{-rt}}\) |
| Euler法 | \(y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)\) |
Kinematics 运动学
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 基本关系 | \(v=\dot{x}\)，\(a=\dot{v}=\ddot{x}\) |
| 位移 | \(\int v\,dt\) |
| 路程 | \(\int|v|\,dt\) |
| \(a=f(x)\) | \(a=v\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{v^2}{2}\right)\) |
| 匀加速 | \(v=u+at\)，\(v^2=u^2+2as\) |
| 位移中点速度 | \(\sqrt{\frac{u^2+v^2}{2}}\) |
Vector Kinematics 向量运动学
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 速度 | \(\vec{v}=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}\) |
| 速率 | \(|\vec{v}|=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\) |
| 弧长 | \(\int|\vec{v}|\,dt\) |
| 垂直条件 | \(\vec{v}\cdot\vec{a}=0 \Rightarrow\) 速率极值 |
| 碰撞 | 同 \(t\)：\(x_A=x_B\) 且 \(y_A=y_B\) |
Projectile 抛体运动
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 水平位移 | \(x=Vt\cos\alpha\) |
| 竖直位移 | \(y=h+Vt\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^2\) |
| 最高点时间 | \(t=\frac{V\sin\alpha}{g}\) |
| 射程 | \(R=\frac{V^2\sin2\alpha}{g}\) |
| 位移中点速度 | \(\sqrt{\frac{v_A^2+v_B^2}{2}}\) |
Trig Integration 三角积分补充
| 公式 | 结果 |
|---|---|
| \(2\cos A\cos B\) | \(\cos(A-B)+\cos(A+B)\) |
| \(2\sin A\sin B\) | \(\cos(A-B)-\cos(A+B)\) |
| \(2\sin A\cos B\) | \(\sin(A+B)+\sin(A-B)\) |
| 奇函数在 \([-a,a]\) | \(\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0\) |
| 偶函数在 \([-a,a]\) | \(\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx\) |
| 平均值 | \(\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\) |
核心定义
什么是 Oxidation？
失去一个或多个电子的过程。氧化数增加。
记忆：OIL = Oxidation Is Loss
记忆：OIL = Oxidation Is Loss
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